Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30580 / 20498
↖ ↑ ↗
← N 55.720923°
W 12.019043°		 ← 344.01 m → N 55.720923°
W 12.013550°		 →
↑
344.10 m
↓
↑
344.10 m
↓
N 55.717829°
W 12.019043°		 ← 344.04 m →
118 378 m²		 N 55.717829°
W 12.013550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30580 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466621398925781 y=0.312782287597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466621398925781 × 216)
    floor (0.466621398925781 × 65536)
    floor (30580.5)     		tx = 30580
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312782287597656 × 216)
    floor (0.312782287597656 × 65536)
    floor (20498.5)     		ty = 20498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30580 / 20498 ti = "16/30580/20498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30580/20498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30580 ÷ 216
    30580 ÷ 65536     		x = 0.46661376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20498 ÷ 216
    20498 ÷ 65536     		y = 0.312774658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46661376953125 × 2 - 1) × π
    -0.0667724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20977187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312774658203125 × 2 - 1) × π
    0.37445068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17637151667618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20977187} λ = -0.20977187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17637151667618))-π/2
    2×atan(3.24258715784544)-π/2
    2×1.27165494601072-π/2
    2.54330989202145-1.57079632675     		φ = 0.97251357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20977187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.019043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97251357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.720923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30580 KachelY 20498 -0.20977187 0.97251357 -12.019043 55.720923
    Oben rechts KachelX + 1 30581 KachelY 20498 -0.20967600 0.97251357 -12.013550 55.720923
    Unten links KachelX 30580 KachelY + 1 20499 -0.20977187 0.97245956 -12.019043 55.717829
    Unten rechts KachelX + 1 30581 KachelY + 1 20499 -0.20967600 0.97245956 -12.013550 55.717829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97251357-0.97245956) × R
    5.40100000000487e-05 × 6371000     		dl = 344.097710000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97251357-0.97245956) × R
    5.40100000000487e-05 × 6371000     		dr = 344.097710000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20977187--0.20967600) × cos(0.97251357) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563224339571258 × 6371000     		do = 344.010538376444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20977187--0.20967600) × cos(0.97245956) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563268967430193 × 6371000     		du = 344.037796526883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97251357)-sin(0.97245956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563224339571258-0.563268967430193)×R²
    abs(-0.20967600--0.20977187)×4.4627858935109e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4627858935109e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4627858935109e-05×40589641000000     		ar = 118377.928233581m²