Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3058 / 5074
↖ ↑ ↗
← S 39.436193°
W 45.615234°		 ← 3 774 m → S 39.436193°
W 45.571289°		 →
↑
3 773.10 m
↓
↑
3 773.10 m
↓
S 39.470125°
W 45.615234°		 ← 3 772.16 m →
14 236 191 m²		 S 39.470125°
W 45.571289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37335205078125 y=0.61944580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37335205078125 × 213)
    floor (0.37335205078125 × 8192)
    floor (3058.5)     		tx = 3058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61944580078125 × 213)
    floor (0.61944580078125 × 8192)
    floor (5074.5)     		ty = 5074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3058 / 5074 ti = "13/3058/5074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3058/5074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3058 ÷ 213
    3058 ÷ 8192     		x = 0.373291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5074 ÷ 213
    5074 ÷ 8192     		y = 0.619384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373291015625 × 2 - 1) × π
    -0.25341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79613603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619384765625 × 2 - 1) × π
    -0.23876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.750116605254639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79613603} λ = -0.79613603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.750116605254639))-π/2
    2×atan(0.472311475530058)-π/2
    2×0.441252457260743-π/2
    0.882504914521487-1.57079632675     		φ = -0.68829141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79613603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.615234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68829141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.436193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3058 KachelY 5074 -0.79613603 -0.68829141 -45.615234 -39.436193
    Oben rechts KachelX + 1 3059 KachelY 5074 -0.79536904 -0.68829141 -45.571289 -39.436193
    Unten links KachelX 3058 KachelY + 1 5075 -0.79613603 -0.68888364 -45.615234 -39.470125
    Unten rechts KachelX + 1 3059 KachelY + 1 5075 -0.79536904 -0.68888364 -45.571289 -39.470125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68829141--0.68888364) × R
    0.000592229999999971 × 6371000     		dl = 3773.09732999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68829141--0.68888364) × R
    0.000592229999999971 × 6371000     		dr = 3773.09732999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79613603--0.79536904) × cos(-0.68829141) × R
    0.000766990000000023 × 0.772332469790943 × 6371000     		do = 3773.99743128268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79613603--0.79536904) × cos(-0.68888364) × R
    0.000766990000000023 × 0.771956138911908 × 6371000     		du = 3772.15849296746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68829141)-sin(-0.68888364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772332469790943-0.771956138911908)×R²
    abs(-0.79536904--0.79613603)×0.000376330879034659×R²
    0.000766990000000023×0.000376330879034659×6371000²
    0.000766990000000023×0.000376330879034659×40589641000000     		ar = 14236190.8008732m²