Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30578 / 20622
↖ ↑ ↗
← N 55.335394°
W 12.030029°		 ← 347.40 m → N 55.335394°
W 12.024536°		 →
↑
347.41 m
↓
↑
347.41 m
↓
N 55.332269°
W 12.030029°		 ← 347.43 m →
120 695 m²		 N 55.332269°
W 12.024536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30578 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466590881347656 y=0.314674377441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466590881347656 × 216)
    floor (0.466590881347656 × 65536)
    floor (30578.5)     		tx = 30578
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314674377441406 × 216)
    floor (0.314674377441406 × 65536)
    floor (20622.5)     		ty = 20622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30578 / 20622 ti = "16/30578/20622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30578/20622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30578 ÷ 216
    30578 ÷ 65536     		x = 0.466583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20622 ÷ 216
    20622 ÷ 65536     		y = 0.314666748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466583251953125 × 2 - 1) × π
    -0.06683349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.20996362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314666748046875 × 2 - 1) × π
    0.37066650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.1644831655704
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.20996362} λ = -0.20996362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1644831655704))-π/2
    2×atan(3.20426637998397)-π/2
    2×1.26829056909634-π/2
    2.53658113819268-1.57079632675     		φ = 0.96578481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.20996362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.030029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96578481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.335394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30578 KachelY 20622 -0.20996362 0.96578481 -12.030029 55.335394
    Oben rechts KachelX + 1 30579 KachelY 20622 -0.20986775 0.96578481 -12.024536 55.335394
    Unten links KachelX 30578 KachelY + 1 20623 -0.20996362 0.96573028 -12.030029 55.332269
    Unten rechts KachelX + 1 30579 KachelY + 1 20623 -0.20986775 0.96573028 -12.024536 55.332269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96578481-0.96573028) × R
    5.45299999999971e-05 × 6371000     		dl = 347.410629999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96578481-0.96573028) × R
    5.45299999999971e-05 × 6371000     		dr = 347.410629999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.20996362--0.20986775) × cos(0.96578481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568771548809141 × 6371000     		do = 347.398705936574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.20996362--0.20986775) × cos(0.96573028) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568816398645684 × 6371000     		du = 347.426099668221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96578481)-sin(0.96573028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568771548809141-0.568816398645684)×R²
    abs(-0.20986775--0.20996362)×4.48498365429595e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.48498365429595e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.48498365429595e-05×40589641000000     		ar = 120694.761757296m²