Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30576 / 38168
↖ ↑ ↗
← S 28.420391°
W 12.041016°		 ← 537.23 m → S 28.420391°
W 12.035522°		 →
↑
537.20 m
↓
↑
537.20 m
↓
S 28.425222°
W 12.041016°		 ← 537.21 m →
288 595 m²		 S 28.425222°
W 12.035522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466560363769531 y=0.582405090332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466560363769531 × 216)
    floor (0.466560363769531 × 65536)
    floor (30576.5)     		tx = 30576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582405090332031 × 216)
    floor (0.582405090332031 × 65536)
    floor (38168.5)     		ty = 38168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30576 / 38168 ti = "16/30576/38168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30576/38168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30576 ÷ 216
    30576 ÷ 65536     		x = 0.466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38168 ÷ 216
    38168 ÷ 65536     		y = 0.5823974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466552734375 × 2 - 1) × π
    -0.06689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21015537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5823974609375 × 2 - 1) × π
    -0.164794921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.517718515896606
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21015537} λ = -0.21015537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517718515896606))-π/2
    2×atan(0.595878485617082)-π/2
    2×0.537383463829224-π/2
    1.07476692765845-1.57079632675     		φ = -0.49602940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21015537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.041016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49602940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.420391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30576 KachelY 38168 -0.21015537 -0.49602940 -12.041016 -28.420391
    Oben rechts KachelX + 1 30577 KachelY 38168 -0.21005949 -0.49602940 -12.035522 -28.420391
    Unten links KachelX 30576 KachelY + 1 38169 -0.21015537 -0.49611372 -12.041016 -28.425222
    Unten rechts KachelX + 1 30577 KachelY + 1 38169 -0.21005949 -0.49611372 -12.035522 -28.425222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49602940--0.49611372) × R
    8.43199999999711e-05 × 6371000     		dl = 537.202719999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49602940--0.49611372) × R
    8.43199999999711e-05 × 6371000     		dr = 537.202719999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21015537--0.21005949) × cos(-0.49602940) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.879479246105049 × 6371000     		do = 537.231199112668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21015537--0.21005949) × cos(-0.49611372) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.879439111950598 × 6371000     		du = 537.206683105023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49602940)-sin(-0.49611372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879479246105049-0.879439111950598)×R²
    abs(-0.21005949--0.21015537)×4.01341544511435e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.01341544511435e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.01341544511435e-05×40589641000000     		ar = 288595.476570017m²