Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30575 / 20606
↖ ↑ ↗
← N 55.385352°
W 12.046509°		 ← 346.96 m → N 55.385352°
W 12.041016°		 →
↑
347.03 m
↓
↑
347.03 m
↓
N 55.382231°
W 12.046509°		 ← 346.99 m →
120 410 m²		 N 55.382231°
W 12.041016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466545104980469 y=0.314430236816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466545104980469 × 216)
    floor (0.466545104980469 × 65536)
    floor (30575.5)     		tx = 30575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.314430236816406 × 216)
    floor (0.314430236816406 × 65536)
    floor (20606.5)     		ty = 20606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30575 / 20606 ti = "16/30575/20606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30575/20606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30575 ÷ 216
    30575 ÷ 65536     		x = 0.466537475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20606 ÷ 216
    20606 ÷ 65536     		y = 0.314422607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466537475585938 × 2 - 1) × π
    -0.066925048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21025124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.314422607421875 × 2 - 1) × π
    0.37115478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16601714635825
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21025124} λ = -0.21025124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16601714635825))-π/2
    2×atan(3.20918543495331)-π/2
    2×1.26872653626838-π/2
    2.53745307253676-1.57079632675     		φ = 0.96665675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21025124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.046509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96665675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.385352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30575 KachelY 20606 -0.21025124 0.96665675 -12.046509 55.385352
    Oben rechts KachelX + 1 30576 KachelY 20606 -0.21015537 0.96665675 -12.041016 55.385352
    Unten links KachelX 30575 KachelY + 1 20607 -0.21025124 0.96660228 -12.046509 55.382231
    Unten rechts KachelX + 1 30576 KachelY + 1 20607 -0.21015537 0.96660228 -12.041016 55.382231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96665675-0.96660228) × R
    5.44699999999176e-05 × 6371000     		dl = 347.028369999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96665675-0.96660228) × R
    5.44699999999176e-05 × 6371000     		dr = 347.028369999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21025124--0.21015537) × cos(0.96665675) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568054165919914 × 6371000     		do = 346.960537241427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21025124--0.21015537) × cos(0.96660228) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.568098993406175 × 6371000     		du = 346.987917321795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96665675)-sin(0.96660228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.568054165919914-0.568098993406175)×R²
    abs(-0.21015537--0.21025124)×4.4827486261112e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4827486261112e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4827486261112e-05×40589641000000     		ar = 120409.900555406m²