Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30574 / 17171
↖ ↑ ↗
← N 64.729607°
W 12.052002°		 ← 260.77 m → N 64.729607°
W 12.046509°		 →
↑
260.77 m
↓
↑
260.77 m
↓
N 64.727262°
W 12.052002°		 ← 260.79 m →
68 002 m²		 N 64.727262°
W 12.046509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30574 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466529846191406 y=0.262016296386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466529846191406 × 216)
    floor (0.466529846191406 × 65536)
    floor (30574.5)     		tx = 30574
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262016296386719 × 216)
    floor (0.262016296386719 × 65536)
    floor (17171.5)     		ty = 17171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30574 / 17171 ti = "16/30574/17171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30574/17171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30574 ÷ 216
    30574 ÷ 65536     		x = 0.466522216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17171 ÷ 216
    17171 ÷ 65536     		y = 0.262008666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466522216796875 × 2 - 1) × π
    -0.06695556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21034712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262008666992188 × 2 - 1) × π
    0.475982666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49534364674803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21034712} λ = -0.21034712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49534364674803))-π/2
    2×atan(4.46086925269117)-π/2
    2×1.35027054945033-π/2
    2.70054109890067-1.57079632675     		φ = 1.12974477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21034712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.052002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12974477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.729607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30574 KachelY 17171 -0.21034712 1.12974477 -12.052002 64.729607
    Oben rechts KachelX + 1 30575 KachelY 17171 -0.21025124 1.12974477 -12.046509 64.729607
    Unten links KachelX 30574 KachelY + 1 17172 -0.21034712 1.12970384 -12.052002 64.727262
    Unten rechts KachelX + 1 30575 KachelY + 1 17172 -0.21025124 1.12970384 -12.046509 64.727262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12974477-1.12970384) × R
    4.09300000001611e-05 × 6371000     		dl = 260.765030001026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12974477-1.12970384) × R
    4.09300000001611e-05 × 6371000     		dr = 260.765030001026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21034712--0.21025124) × cos(1.12974477) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.426890627153934 × 6371000     		do = 260.766771395089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21034712--0.21025124) × cos(1.12970384) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.426927639928923 × 6371000     		du = 260.78938070347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12974477)-sin(1.12970384))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426890627153934-0.426927639928923)×R²
    abs(-0.21025124--0.21034712)×3.70127749890203e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.70127749890203e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.70127749890203e-05×40589641000000     		ar = 68001.8028340661m²