Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30573 / 7020
↖ ↑ ↗
← N 71.145194°
E155.885009°		 ← 394.80 m → N 71.145194°
E155.895996°		 →
↑
394.81 m
↓
↑
394.81 m
↓
N 71.141644°
E155.885009°		 ← 394.87 m →
155 885 m²		 N 71.141644°
E155.895996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.933029174804688 y=0.214248657226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.933029174804688 × 215)
    floor (0.933029174804688 × 32768)
    floor (30573.5)     		tx = 30573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214248657226562 × 215)
    floor (0.214248657226562 × 32768)
    floor (7020.5)     		ty = 7020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30573 / 7020 ti = "15/30573/7020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30573/7020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30573 ÷ 215
    30573 ÷ 32768     		x = 0.933013916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7020 ÷ 215
    7020 ÷ 32768     		y = 0.2142333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.933013916015625 × 2 - 1) × π
    0.86602783203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.72070667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2142333984375 × 2 - 1) × π
    0.571533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79552451216882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.72070667} λ = 2.72070667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79552451216882))-π/2
    2×atan(6.02263283771147)-π/2
    2×1.40625711078198-π/2
    2.81251422156396-1.57079632675     		φ = 1.24171789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.72070667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.885009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24171789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.145194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30573 KachelY 7020 2.72070667 1.24171789 155.885009 71.145194
    Oben rechts KachelX + 1 30574 KachelY 7020 2.72089842 1.24171789 155.895996 71.145194
    Unten links KachelX 30573 KachelY + 1 7021 2.72070667 1.24165592 155.885009 71.141644
    Unten rechts KachelX + 1 30574 KachelY + 1 7021 2.72089842 1.24165592 155.895996 71.141644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24171789-1.24165592) × R
    6.19700000001888e-05 × 6371000     		dl = 394.810870001203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24171789-1.24165592) × R
    6.19700000001888e-05 × 6371000     		dr = 394.810870001203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.72070667-2.72089842) × cos(1.24171789) × R
    0.000191749999999935 × 0.32317105310259 × 6371000     		do = 394.798442933825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.72070667-2.72089842) × cos(1.24165592) × R
    0.000191749999999935 × 0.323229697207011 × 6371000     		du = 394.870084873567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24171789)-sin(1.24165592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32317105310259-0.323229697207011)×R²
    abs(2.72089842-2.72070667)×5.8644104421024e-05×R²
    0.000191749999999935×5.8644104421024e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.8644104421024e-05×40589641000000     		ar = 155884.859288017m²