Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30573 / 20499
↖ ↑ ↗
← N 55.717829°
W 12.057495°		 ← 344.04 m → N 55.717829°
W 12.052002°		 →
↑
344.03 m
↓
↑
344.03 m
↓
N 55.714735°
W 12.057495°		 ← 344.07 m →
118 365 m²		 N 55.714735°
W 12.052002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466514587402344 y=0.312797546386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466514587402344 × 216)
    floor (0.466514587402344 × 65536)
    floor (30573.5)     		tx = 30573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312797546386719 × 216)
    floor (0.312797546386719 × 65536)
    floor (20499.5)     		ty = 20499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30573 / 20499 ti = "16/30573/20499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30573/20499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30573 ÷ 216
    30573 ÷ 65536     		x = 0.466506958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20499 ÷ 216
    20499 ÷ 65536     		y = 0.312789916992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466506958007812 × 2 - 1) × π
    -0.066986083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21044299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312789916992188 × 2 - 1) × π
    0.374420166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17627564287694
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21044299} λ = -0.21044299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17627564287694))-π/2
    2×atan(3.24227629359736)-π/2
    2×1.27162794571244-π/2
    2.54325589142487-1.57079632675     		φ = 0.97245956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21044299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.057495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97245956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.717829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30573 KachelY 20499 -0.21044299 0.97245956 -12.057495 55.717829
    Oben rechts KachelX + 1 30574 KachelY 20499 -0.21034712 0.97245956 -12.052002 55.717829
    Unten links KachelX 30573 KachelY + 1 20500 -0.21044299 0.97240556 -12.057495 55.714735
    Unten rechts KachelX + 1 30574 KachelY + 1 20500 -0.21034712 0.97240556 -12.052002 55.714735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97245956-0.97240556) × R
    5.39999999999985e-05 × 6371000     		dl = 344.03399999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97245956-0.97240556) × R
    5.39999999999985e-05 × 6371000     		dr = 344.03399999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21044299--0.21034712) × cos(0.97245956) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563268967430193 × 6371000     		do = 344.037796526883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21044299--0.21034712) × cos(0.97240556) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.563313585383596 × 6371000     		du = 344.065048627143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97245956)-sin(0.97240556))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.563268967430193-0.563313585383596)×R²
    abs(-0.21034712--0.21044299)×4.46179534024926e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46179534024926e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46179534024926e-05×40589641000000     		ar = 118365.387143403m²