Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30573 / 17167
↖ ↑ ↗
← N 64.738985°
W 12.057495°		 ← 260.65 m → N 64.738985°
W 12.052002°		 →
↑
260.64 m
↓
↑
260.64 m
↓
N 64.736641°
W 12.057495°		 ← 260.67 m →
67 938 m²		 N 64.736641°
W 12.052002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466514587402344 y=0.261955261230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466514587402344 × 216)
    floor (0.466514587402344 × 65536)
    floor (30573.5)     		tx = 30573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261955261230469 × 216)
    floor (0.261955261230469 × 65536)
    floor (17167.5)     		ty = 17167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30573 / 17167 ti = "16/30573/17167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30573/17167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30573 ÷ 216
    30573 ÷ 65536     		x = 0.466506958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17167 ÷ 216
    17167 ÷ 65536     		y = 0.261947631835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466506958007812 × 2 - 1) × π
    -0.066986083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21044299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261947631835938 × 2 - 1) × π
    0.476104736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49572714194499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21044299} λ = -0.21044299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49572714194499))-π/2
    2×atan(4.4625803026926)-π/2
    2×1.35035239051028-π/2
    2.70070478102056-1.57079632675     		φ = 1.12990845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21044299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.057495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12990845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.738985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30573 KachelY 17167 -0.21044299 1.12990845 -12.057495 64.738985
    Oben rechts KachelX + 1 30574 KachelY 17167 -0.21034712 1.12990845 -12.052002 64.738985
    Unten links KachelX 30573 KachelY + 1 17168 -0.21044299 1.12986754 -12.057495 64.736641
    Unten rechts KachelX + 1 30574 KachelY + 1 17168 -0.21034712 1.12986754 -12.052002 64.736641
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12990845-1.12986754) × R
    4.09100000000606e-05 × 6371000     		dl = 260.637610000386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12990845-1.12986754) × R
    4.09100000000606e-05 × 6371000     		dr = 260.637610000386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21044299--0.21034712) × cos(1.12990845) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426742605077975 × 6371000     		do = 260.649164119562m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21044299--0.21034712) × cos(1.12986754) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.4267796026254 × 6371000     		du = 260.671761769048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12990845)-sin(1.12986754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426742605077975-0.4267796026254)×R²
    abs(-0.21034712--0.21044299)×3.69975474244777e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69975474244777e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69975474244777e-05×40589641000000     		ar = 67937.9200930225m²