Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30572 / 20212
↖ ↑ ↗
← N 56.595791°
W 12.062988°		 ← 336.26 m → N 56.595791°
W 12.057495°		 →
↑
336.33 m
↓
↑
336.33 m
↓
N 56.592766°
W 12.062988°		 ← 336.29 m →
113 099 m²		 N 56.592766°
W 12.057495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466499328613281 y=0.308418273925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466499328613281 × 216)
    floor (0.466499328613281 × 65536)
    floor (30572.5)     		tx = 30572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308418273925781 × 216)
    floor (0.308418273925781 × 65536)
    floor (20212.5)     		ty = 20212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30572 / 20212 ti = "16/30572/20212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30572/20212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30572 ÷ 216
    30572 ÷ 65536     		x = 0.46649169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20212 ÷ 216
    20212 ÷ 65536     		y = 0.30841064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46649169921875 × 2 - 1) × π
    -0.0670166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21053886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30841064453125 × 2 - 1) × π
    0.3831787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20379142325885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21053886} λ = -0.21053886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20379142325885))-π/2
    2×atan(3.33272878460488)-π/2
    2×1.27928960714256-π/2
    2.55857921428511-1.57079632675     		φ = 0.98778289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21053886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.062988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98778289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.595791°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30572 KachelY 20212 -0.21053886 0.98778289 -12.062988 56.595791
    Oben rechts KachelX + 1 30573 KachelY 20212 -0.21044299 0.98778289 -12.057495 56.595791
    Unten links KachelX 30572 KachelY + 1 20213 -0.21053886 0.98773010 -12.062988 56.592766
    Unten rechts KachelX + 1 30573 KachelY + 1 20213 -0.21044299 0.98773010 -12.057495 56.592766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98778289-0.98773010) × R
    5.27899999999137e-05 × 6371000     		dl = 336.32508999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98778289-0.98773010) × R
    5.27899999999137e-05 × 6371000     		dr = 336.32508999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21053886--0.21044299) × cos(0.98778289) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55054207205744 × 6371000     		do = 336.264364483136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21053886--0.21044299) × cos(0.98773010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55058614077395 × 6371000     		du = 336.29128111622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98778289)-sin(0.98773010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55054207205744-0.55058614077395)×R²
    abs(-0.21044299--0.21053886)×4.40687165099707e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40687165099707e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40687165099707e-05×40589641000000     		ar = 113098.669044103m²