Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30572 / 16147
↖ ↑ ↗
← N 67.026731°
W 12.062988°		 ← 238.39 m → N 67.026731°
W 12.057495°		 →
↑
238.40 m
↓
↑
238.40 m
↓
N 67.024587°
W 12.062988°		 ← 238.41 m →
56 836 m²		 N 67.024587°
W 12.057495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466499328613281 y=0.246391296386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466499328613281 × 216)
    floor (0.466499328613281 × 65536)
    floor (30572.5)     		tx = 30572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246391296386719 × 216)
    floor (0.246391296386719 × 65536)
    floor (16147.5)     		ty = 16147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30572 / 16147 ti = "16/30572/16147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30572/16147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30572 ÷ 216
    30572 ÷ 65536     		x = 0.46649169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16147 ÷ 216
    16147 ÷ 65536     		y = 0.246383666992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46649169921875 × 2 - 1) × π
    -0.0670166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21053886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246383666992188 × 2 - 1) × π
    0.507232666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.59351841716991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21053886} λ = -0.21053886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59351841716991))-π/2
    2×atan(4.92103275077171)-π/2
    2×1.37031674062794-π/2
    2.74063348125588-1.57079632675     		φ = 1.16983715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21053886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.062988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16983715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.026731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30572 KachelY 16147 -0.21053886 1.16983715 -12.062988 67.026731
    Oben rechts KachelX + 1 30573 KachelY 16147 -0.21044299 1.16983715 -12.057495 67.026731
    Unten links KachelX 30572 KachelY + 1 16148 -0.21053886 1.16979973 -12.062988 67.024587
    Unten rechts KachelX + 1 30573 KachelY + 1 16148 -0.21044299 1.16979973 -12.057495 67.024587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16983715-1.16979973) × R
    3.74199999999547e-05 × 6371000     		dl = 238.402819999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16983715-1.16979973) × R
    3.74199999999547e-05 × 6371000     		dr = 238.402819999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21053886--0.21044299) × cos(1.16983715) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390301623368974 × 6371000     		do = 238.39145816491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21053886--0.21044299) × cos(1.16979973) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.39033607520509 × 6371000     		du = 238.412500925064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16983715)-sin(1.16979973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390301623368974-0.39033607520509)×R²
    abs(-0.21044299--0.21053886)×3.44518361165003e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.44518361165003e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.44518361165003e-05×40589641000000     		ar = 56835.7042238105m²