Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30571 / 20651
↖ ↑ ↗
← N 55.244683°
W 12.068482°		 ← 348.23 m → N 55.244683°
W 12.062988°		 →
↑
348.18 m
↓
↑
348.18 m
↓
N 55.241552°
W 12.068482°		 ← 348.26 m →
121 250 m²		 N 55.241552°
W 12.062988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466484069824219 y=0.315116882324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466484069824219 × 216)
    floor (0.466484069824219 × 65536)
    floor (30571.5)     		tx = 30571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315116882324219 × 216)
    floor (0.315116882324219 × 65536)
    floor (20651.5)     		ty = 20651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30571 / 20651 ti = "16/30571/20651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30571/20651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30571 ÷ 216
    30571 ÷ 65536     		x = 0.466476440429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20651 ÷ 216
    20651 ÷ 65536     		y = 0.315109252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466476440429688 × 2 - 1) × π
    -0.067047119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21063474
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315109252929688 × 2 - 1) × π
    0.369781494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.16170282539244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21063474} λ = -0.21063474}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.16170282539244))-π/2
    2×atan(3.19536980291323)-π/2
    2×1.26749897546336-π/2
    2.53499795092672-1.57079632675     		φ = 0.96420162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21063474} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.068482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96420162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.244683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30571 KachelY 20651 -0.21063474 0.96420162 -12.068482 55.244683
    Oben rechts KachelX + 1 30572 KachelY 20651 -0.21053886 0.96420162 -12.062988 55.244683
    Unten links KachelX 30571 KachelY + 1 20652 -0.21063474 0.96414697 -12.068482 55.241552
    Unten rechts KachelX + 1 30572 KachelY + 1 20652 -0.21053886 0.96414697 -12.062988 55.241552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96420162-0.96414697) × R
    5.46499999999339e-05 × 6371000     		dl = 348.175149999579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96420162-0.96414697) × R
    5.46499999999339e-05 × 6371000     		dr = 348.175149999579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21063474--0.21053886) × cos(0.96420162) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.570073002180517 × 6371000     		do = 348.229937089986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21063474--0.21053886) × cos(0.96414697) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.570117901443672 × 6371000     		du = 348.257363871334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96420162)-sin(0.96414697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570073002180517-0.570117901443672)×R²
    abs(-0.21053886--0.21063474)×4.48992631540968e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.48992631540968e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.48992631540968e-05×40589641000000     		ar = 121249.785272862m²