Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30570 / 20192
↖ ↑ ↗
← N 56.656226°
W 12.073975°		 ← 335.73 m → N 56.656226°
W 12.068482°		 →
↑
335.75 m
↓
↑
335.75 m
↓
N 56.653207°
W 12.073975°		 ← 335.75 m →
112 725 m²		 N 56.653207°
W 12.068482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466468811035156 y=0.308113098144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466468811035156 × 216)
    floor (0.466468811035156 × 65536)
    floor (30570.5)     		tx = 30570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308113098144531 × 216)
    floor (0.308113098144531 × 65536)
    floor (20192.5)     		ty = 20192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30570 / 20192 ti = "16/30570/20192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30570/20192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30570 ÷ 216
    30570 ÷ 65536     		x = 0.466461181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20192 ÷ 216
    20192 ÷ 65536     		y = 0.30810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.06707763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21073061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30810546875 × 2 - 1) × π
    0.3837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20570889924365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21073061} λ = -0.21073061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20570889924365))-π/2
    2×atan(3.33912534267661)-π/2
    2×1.2798170104216-π/2
    2.55963402084321-1.57079632675     		φ = 0.98883769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21073061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.073975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98883769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.656226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30570 KachelY 20192 -0.21073061 0.98883769 -12.073975 56.656226
    Oben rechts KachelX + 1 30571 KachelY 20192 -0.21063474 0.98883769 -12.068482 56.656226
    Unten links KachelX 30570 KachelY + 1 20193 -0.21073061 0.98878499 -12.073975 56.653207
    Unten rechts KachelX + 1 30571 KachelY + 1 20193 -0.21063474 0.98878499 -12.068482 56.653207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98883769-0.98878499) × R
    5.27000000000166e-05 × 6371000     		dl = 335.751700000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98883769-0.98878499) × R
    5.27000000000166e-05 × 6371000     		dr = 335.751700000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21073061--0.21063474) × cos(0.98883769) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.549661211087751 × 6371000     		do = 335.726345375877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21073061--0.21063474) × cos(0.98878499) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.549705235254461 × 6371000     		du = 335.753234798488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98883769)-sin(0.98878499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549661211087751-0.549705235254461)×R²
    abs(-0.21063474--0.21073061)×4.40241667100105e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.40241667100105e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.40241667100105e-05×40589641000000     		ar = 112725.20530561m²