Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30570 / 17110
↖ ↑ ↗
← N 64.872273°
W 12.073975°		 ← 259.36 m → N 64.872273°
W 12.068482°		 →
↑
259.36 m
↓
↑
259.36 m
↓
N 64.869941°
W 12.073975°		 ← 259.39 m →
67 272 m²		 N 64.869941°
W 12.068482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466468811035156 y=0.261085510253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466468811035156 × 216)
    floor (0.466468811035156 × 65536)
    floor (30570.5)     		tx = 30570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261085510253906 × 216)
    floor (0.261085510253906 × 65536)
    floor (17110.5)     		ty = 17110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30570 / 17110 ti = "16/30570/17110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30570/17110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30570 ÷ 216
    30570 ÷ 65536     		x = 0.466461181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17110 ÷ 216
    17110 ÷ 65536     		y = 0.261077880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466461181640625 × 2 - 1) × π
    -0.06707763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21073061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261077880859375 × 2 - 1) × π
    0.47784423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50119194850168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21073061} λ = -0.21073061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50119194850168))-π/2
    2×atan(4.48703419783596)-π/2
    2×1.35151554568557-π/2
    2.70303109137114-1.57079632675     		φ = 1.13223476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21073061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.073975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13223476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.872273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30570 KachelY 17110 -0.21073061 1.13223476 -12.073975 64.872273
    Oben rechts KachelX + 1 30571 KachelY 17110 -0.21063474 1.13223476 -12.068482 64.872273
    Unten links KachelX 30570 KachelY + 1 17111 -0.21073061 1.13219405 -12.073975 64.869941
    Unten rechts KachelX + 1 30571 KachelY + 1 17111 -0.21063474 1.13219405 -12.068482 64.869941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13223476-1.13219405) × R
    4.07099999999438e-05 × 6371000     		dl = 259.363409999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13223476-1.13219405) × R
    4.07099999999438e-05 × 6371000     		dr = 259.363409999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21073061--0.21063474) × cos(1.13223476) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.42463760002656 × 6371000     		do = 259.363452778444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21073061--0.21063474) × cos(1.13219405) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.424674457019194 × 6371000     		du = 259.385964578784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13223476)-sin(1.13219405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42463760002656-0.424674457019194)×R²
    abs(-0.21063474--0.21073061)×3.68569926346707e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.68569926346707e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.68569926346707e-05×40589641000000     		ar = 67272.308919939m²