Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30569 / 20193
↖ ↑ ↗
← N 56.653207°
W 12.079468°		 ← 335.75 m → N 56.653207°
W 12.073975°		 →
↑
335.75 m
↓
↑
335.75 m
↓
N 56.650187°
W 12.079468°		 ← 335.78 m →
112 734 m²		 N 56.650187°
W 12.073975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466453552246094 y=0.308128356933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466453552246094 × 216)
    floor (0.466453552246094 × 65536)
    floor (30569.5)     		tx = 30569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308128356933594 × 216)
    floor (0.308128356933594 × 65536)
    floor (20193.5)     		ty = 20193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30569 / 20193 ti = "16/30569/20193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30569/20193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30569 ÷ 216
    30569 ÷ 65536     		x = 0.466445922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20193 ÷ 216
    20193 ÷ 65536     		y = 0.308120727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466445922851562 × 2 - 1) × π
    -0.067108154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21082648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308120727539062 × 2 - 1) × π
    0.383758544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20561302544441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21082648} λ = -0.21082648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20561302544441))-π/2
    2×atan(3.33880522338964)-π/2
    2×1.27979066031228-π/2
    2.55958132062456-1.57079632675     		φ = 0.98878499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21082648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.079468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98878499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.653207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30569 KachelY 20193 -0.21082648 0.98878499 -12.079468 56.653207
    Oben rechts KachelX + 1 30570 KachelY 20193 -0.21073061 0.98878499 -12.073975 56.653207
    Unten links KachelX 30569 KachelY + 1 20194 -0.21082648 0.98873229 -12.079468 56.650187
    Unten rechts KachelX + 1 30570 KachelY + 1 20194 -0.21073061 0.98873229 -12.073975 56.650187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98878499-0.98873229) × R
    5.27000000000166e-05 × 6371000     		dl = 335.751700000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98878499-0.98873229) × R
    5.27000000000166e-05 × 6371000     		dr = 335.751700000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21082648--0.21073061) × cos(0.98878499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.549705235254461 × 6371000     		do = 335.753234798391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21082648--0.21073061) × cos(0.98873229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.549749257894481 × 6371000     		du = 335.780123288517m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98878499)-sin(0.98873229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549705235254461-0.549749257894481)×R²
    abs(-0.21073061--0.21082648)×4.40226400191257e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40226400191257e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40226400191257e-05×40589641000000     		ar = 112734.233318508m²