Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30569 / 17177
↖ ↑ ↗
← N 64.715534°
W 12.079468°		 ← 260.88 m → N 64.715534°
W 12.073975°		 →
↑
260.89 m
↓
↑
260.89 m
↓
N 64.713187°
W 12.079468°		 ← 260.90 m →
68 063 m²		 N 64.713187°
W 12.073975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466453552246094 y=0.262107849121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466453552246094 × 216)
    floor (0.466453552246094 × 65536)
    floor (30569.5)     		tx = 30569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262107849121094 × 216)
    floor (0.262107849121094 × 65536)
    floor (17177.5)     		ty = 17177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30569 / 17177 ti = "16/30569/17177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30569/17177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30569 ÷ 216
    30569 ÷ 65536     		x = 0.466445922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17177 ÷ 216
    17177 ÷ 65536     		y = 0.262100219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466445922851562 × 2 - 1) × π
    -0.067108154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21082648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262100219726562 × 2 - 1) × π
    0.475799560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49476840395259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21082648} λ = -0.21082648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49476840395259))-π/2
    2×atan(4.458303907711)-π/2
    2×1.35014773463227-π/2
    2.70029546926454-1.57079632675     		φ = 1.12949914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21082648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.079468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12949914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.715534°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30569 KachelY 17177 -0.21082648 1.12949914 -12.079468 64.715534
    Oben rechts KachelX + 1 30570 KachelY 17177 -0.21073061 1.12949914 -12.073975 64.715534
    Unten links KachelX 30569 KachelY + 1 17178 -0.21082648 1.12945819 -12.079468 64.713187
    Unten rechts KachelX + 1 30570 KachelY + 1 17178 -0.21073061 1.12945819 -12.073975 64.713187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12949914-1.12945819) × R
    4.09500000000396e-05 × 6371000     		dl = 260.892450000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12949914-1.12945819) × R
    4.09500000000396e-05 × 6371000     		dr = 260.892450000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21082648--0.21073061) × cos(1.12949914) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427112738284294 × 6371000     		do = 260.875236955252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21082648--0.21073061) × cos(1.12945819) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427149764849795 × 6371000     		du = 260.897852328625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12949914)-sin(1.12945819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427112738284294-0.427149764849795)×R²
    abs(-0.21073061--0.21082648)×3.70265655012525e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.70265655012525e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.70265655012525e-05×40589641000000     		ar = 68063.3298132163m²