Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30569 / 17114
↖ ↑ ↗
← N 64.862941°
W 12.079468°		 ← 259.45 m → N 64.862941°
W 12.073975°		 →
↑
259.49 m
↓
↑
259.49 m
↓
N 64.860608°
W 12.079468°		 ← 259.48 m →
67 329 m²		 N 64.860608°
W 12.073975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466453552246094 y=0.261146545410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466453552246094 × 216)
    floor (0.466453552246094 × 65536)
    floor (30569.5)     		tx = 30569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261146545410156 × 216)
    floor (0.261146545410156 × 65536)
    floor (17114.5)     		ty = 17114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30569 / 17114 ti = "16/30569/17114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30569/17114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30569 ÷ 216
    30569 ÷ 65536     		x = 0.466445922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17114 ÷ 216
    17114 ÷ 65536     		y = 0.261138916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466445922851562 × 2 - 1) × π
    -0.067108154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21082648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261138916015625 × 2 - 1) × π
    0.47772216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50080845330472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21082648} λ = -0.21082648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50080845330472))-π/2
    2×atan(4.48531377168116)-π/2
    2×1.35143410830988-π/2
    2.70286821661976-1.57079632675     		φ = 1.13207189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21082648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.079468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13207189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.862941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30569 KachelY 17114 -0.21082648 1.13207189 -12.079468 64.862941
    Oben rechts KachelX + 1 30570 KachelY 17114 -0.21073061 1.13207189 -12.073975 64.862941
    Unten links KachelX 30569 KachelY + 1 17115 -0.21082648 1.13203116 -12.079468 64.860608
    Unten rechts KachelX + 1 30570 KachelY + 1 17115 -0.21073061 1.13203116 -12.073975 64.860608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13207189-1.13203116) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dl = 259.490830000283m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13207189-1.13203116) × R
    4.07300000000443e-05 × 6371000     		dr = 259.490830000283m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21082648--0.21073061) × cos(1.13207189) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424785050932793 × 6371000     		do = 259.453513988572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21082648--0.21073061) × cos(1.13203116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424821923214823 × 6371000     		du = 259.476035127487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13207189)-sin(1.13203116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424785050932793-0.424821923214823)×R²
    abs(-0.21073061--0.21082648)×3.68722820294209e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68722820294209e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68722820294209e-05×40589641000000     		ar = 67328.7297155912m²