Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30567 / 17112
↖ ↑ ↗
← N 64.867608°
W 12.090454°		 ← 259.41 m → N 64.867608°
W 12.084961°		 →
↑
259.43 m
↓
↑
259.43 m
↓
N 64.865274°
W 12.090454°		 ← 259.43 m →
67 301 m²		 N 64.865274°
W 12.084961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466423034667969 y=0.261116027832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466423034667969 × 216)
    floor (0.466423034667969 × 65536)
    floor (30567.5)     		tx = 30567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261116027832031 × 216)
    floor (0.261116027832031 × 65536)
    floor (17112.5)     		ty = 17112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30567 / 17112 ti = "16/30567/17112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30567/17112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30567 ÷ 216
    30567 ÷ 65536     		x = 0.466415405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17112 ÷ 216
    17112 ÷ 65536     		y = 0.2611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466415405273438 × 2 - 1) × π
    -0.067169189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21101823
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2611083984375 × 2 - 1) × π
    0.477783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.5010002009032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21101823} λ = -0.21101823}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5010002009032))-π/2
    2×atan(4.48617390228667)-π/2
    2×1.351474830532-π/2
    2.702949661064-1.57079632675     		φ = 1.13215333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21101823} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.090454°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13215333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.867608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30567 KachelY 17112 -0.21101823 1.13215333 -12.090454 64.867608
    Oben rechts KachelX + 1 30568 KachelY 17112 -0.21092236 1.13215333 -12.084961 64.867608
    Unten links KachelX 30567 KachelY + 1 17113 -0.21101823 1.13211261 -12.090454 64.865274
    Unten rechts KachelX + 1 30568 KachelY + 1 17113 -0.21092236 1.13211261 -12.084961 64.865274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13215333-1.13211261) × R
    4.07199999998831e-05 × 6371000     		dl = 259.427119999255m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13215333-1.13211261) × R
    4.07199999998831e-05 × 6371000     		dr = 259.427119999255m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21101823--0.21092236) × cos(1.13215333) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424711322361303 × 6371000     		do = 259.408481478806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21101823--0.21092236) × cos(1.13211261) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424748186999189 × 6371000     		du = 259.430997948772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13215333)-sin(1.13211261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424711322361303-0.424748186999189)×R²
    abs(-0.21092236--0.21101823)×3.68646378866022e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68646378866022e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68646378866022e-05×40589641000000     		ar = 67300.5159544462m²