Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30566 / 17046
↖ ↑ ↗
← N 65.021146°
W 12.095947°		 ← 257.95 m → N 65.021146°
W 12.090454°		 →
↑
257.96 m
↓
↑
257.96 m
↓
N 65.018826°
W 12.095947°		 ← 257.98 m →
66 545 m²		 N 65.018826°
W 12.090454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466407775878906 y=0.260108947753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466407775878906 × 216)
    floor (0.466407775878906 × 65536)
    floor (30566.5)     		tx = 30566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260108947753906 × 216)
    floor (0.260108947753906 × 65536)
    floor (17046.5)     		ty = 17046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30566 / 17046 ti = "16/30566/17046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30566/17046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30566 ÷ 216
    30566 ÷ 65536     		x = 0.466400146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17046 ÷ 216
    17046 ÷ 65536     		y = 0.260101318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466400146484375 × 2 - 1) × π
    -0.06719970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21111411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260101318359375 × 2 - 1) × π
    0.47979736328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50732787165305
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21111411} λ = -0.21111411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50732787165305))-π/2
    2×atan(4.51465093529438)-π/2
    2×1.35281470413561-π/2
    2.70562940827123-1.57079632675     		φ = 1.13483308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21111411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.095947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13483308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.021146°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30566 KachelY 17046 -0.21111411 1.13483308 -12.095947 65.021146
    Oben rechts KachelX + 1 30567 KachelY 17046 -0.21101823 1.13483308 -12.090454 65.021146
    Unten links KachelX 30566 KachelY + 1 17047 -0.21111411 1.13479259 -12.095947 65.018826
    Unten rechts KachelX + 1 30567 KachelY + 1 17047 -0.21101823 1.13479259 -12.090454 65.018826
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13483308-1.13479259) × R
    4.04899999999486e-05 × 6371000     		dl = 257.961789999673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13483308-1.13479259) × R
    4.04899999999486e-05 × 6371000     		dr = 257.961789999673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21111411--0.21101823) × cos(1.13483308) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.422283745391573 × 6371000     		do = 257.952650852366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21111411--0.21101823) × cos(1.13479259) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.422320447760598 × 6371000     		du = 257.975070548804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13483308)-sin(1.13479259))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422283745391573-0.422320447760598)×R²
    abs(-0.21101823--0.21111411)×3.67023690252544e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.67023690252544e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.67023690252544e-05×40589641000000     		ar = 66544.8192704005m²