Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30565 / 16165
↖ ↑ ↗
← N 66.988109°
W 12.101440°		 ← 238.77 m → N 66.988109°
W 12.095947°		 →
↑
238.79 m
↓
↑
238.79 m
↓
N 66.985961°
W 12.101440°		 ← 238.79 m →
57 017 m²		 N 66.985961°
W 12.095947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466392517089844 y=0.246665954589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466392517089844 × 216)
    floor (0.466392517089844 × 65536)
    floor (30565.5)     		tx = 30565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246665954589844 × 216)
    floor (0.246665954589844 × 65536)
    floor (16165.5)     		ty = 16165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30565 / 16165 ti = "16/30565/16165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30565/16165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30565 ÷ 216
    30565 ÷ 65536     		x = 0.466384887695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16165 ÷ 216
    16165 ÷ 65536     		y = 0.246658325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466384887695312 × 2 - 1) × π
    -0.067230224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21120998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.246658325195312 × 2 - 1) × π
    0.506683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.59179268878358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21120998} λ = -0.21120998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59179268878358))-π/2
    2×atan(4.91254770840872)-π/2
    2×1.36997969567464-π/2
    2.73995939134927-1.57079632675     		φ = 1.16916306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21120998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.101440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16916306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.988109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30565 KachelY 16165 -0.21120998 1.16916306 -12.101440 66.988109
    Oben rechts KachelX + 1 30566 KachelY 16165 -0.21111411 1.16916306 -12.095947 66.988109
    Unten links KachelX 30565 KachelY + 1 16166 -0.21120998 1.16912558 -12.101440 66.985961
    Unten rechts KachelX + 1 30566 KachelY + 1 16166 -0.21111411 1.16912558 -12.095947 66.985961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16916306-1.16912558) × R
    3.74800000000342e-05 × 6371000     		dl = 238.785080000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16916306-1.16912558) × R
    3.74800000000342e-05 × 6371000     		dr = 238.785080000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21120998--0.21111411) × cos(1.16916306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390922160579047 × 6371000     		do = 238.770474703653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21120998--0.21111411) × cos(1.16912558) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.390956657786306 × 6371000     		du = 238.791545175946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16916306)-sin(1.16912558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390922160579047-0.390956657786306)×R²
    abs(-0.21111411--0.21120998)×3.44972072585104e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.44972072585104e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.44972072585104e-05×40589641000000     		ar = 57017.3425674945m²