Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30564 / 28772
↖ ↑ ↗
← N 70.521234°
W 96.053467°		 ← 101.83 m → N 70.521234°
W 96.050720°		 →
↑
101.87 m
↓
↑
101.87 m
↓
N 70.520318°
W 96.053467°		 ← 101.83 m →
10 373 m²		 N 70.520318°
W 96.050720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.233188629150391 y=0.219516754150391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.233188629150391 × 217)
    floor (0.233188629150391 × 131072)
    floor (30564.5)     		tx = 30564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219516754150391 × 217)
    floor (0.219516754150391 × 131072)
    floor (28772.5)     		ty = 28772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30564 / 28772 ti = "17/30564/28772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30564/28772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30564 ÷ 217
    30564 ÷ 131072     		x = 0.233184814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28772 ÷ 217
    28772 ÷ 131072     		y = 0.219512939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.233184814453125 × 2 - 1) × π
    -0.53363037109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.67644925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219512939453125 × 2 - 1) × π
    0.56097412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76235217763174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67644925} λ = -1.67644925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76235217763174))-π/2
    2×atan(5.8261253715935)-π/2
    2×1.40081202707369-π/2
    2.80162405414738-1.57079632675     		φ = 1.23082773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67644925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.053467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23082773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.521234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30564 KachelY 28772 -1.67644925 1.23082773 -96.053467 70.521234
    Oben rechts KachelX + 1 30565 KachelY 28772 -1.67640132 1.23082773 -96.050720 70.521234
    Unten links KachelX 30564 KachelY + 1 28773 -1.67644925 1.23081174 -96.053467 70.520318
    Unten rechts KachelX + 1 30565 KachelY + 1 28773 -1.67640132 1.23081174 -96.050720 70.520318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23082773-1.23081174) × R
    1.59899999998547e-05 × 6371000     		dl = 101.872289999074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23082773-1.23081174) × R
    1.59899999998547e-05 × 6371000     		dr = 101.872289999074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67644925--1.67640132) × cos(1.23082773) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.33345748645826 × 6371000     		do = 101.825254983182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67644925--1.67640132) × cos(1.23081174) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.33347256123018 × 6371000     		du = 101.829858246138m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23082773)-sin(1.23081174))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33345748645826-0.33347256123018)×R²
    abs(-1.67640132--1.67644925)×1.50747719206423e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.50747719206423e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.50747719206423e-05×40589641000000     		ar = 10373.4063774645m²