Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30564 / 20446
↖ ↑ ↗
← N 55.881474°
W 12.106933°		 ← 342.59 m → N 55.881474°
W 12.101440°		 →
↑
342.63 m
↓
↑
342.63 m
↓
N 55.878393°
W 12.106933°		 ← 342.62 m →
117 389 m²		 N 55.878393°
W 12.101440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466377258300781 y=0.311988830566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466377258300781 × 216)
    floor (0.466377258300781 × 65536)
    floor (30564.5)     		tx = 30564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311988830566406 × 216)
    floor (0.311988830566406 × 65536)
    floor (20446.5)     		ty = 20446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30564 / 20446 ti = "16/30564/20446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30564/20446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30564 ÷ 216
    30564 ÷ 65536     		x = 0.46636962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20446 ÷ 216
    20446 ÷ 65536     		y = 0.311981201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.0672607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21130585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311981201171875 × 2 - 1) × π
    0.37603759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18135695423666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21130585} λ = -0.21130585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18135695423666))-π/2
    2×atan(3.25879323728762)-π/2
    2×1.27305601624334-π/2
    2.54611203248667-1.57079632675     		φ = 0.97531571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21130585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.106933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97531571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.881474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30564 KachelY 20446 -0.21130585 0.97531571 -12.106933 55.881474
    Oben rechts KachelX + 1 30565 KachelY 20446 -0.21120998 0.97531571 -12.101440 55.881474
    Unten links KachelX 30564 KachelY + 1 20447 -0.21130585 0.97526193 -12.106933 55.878393
    Unten rechts KachelX + 1 30565 KachelY + 1 20447 -0.21120998 0.97526193 -12.101440 55.878393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97531571-0.97526193) × R
    5.37799999998922e-05 × 6371000     		dl = 342.632379999314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97531571-0.97526193) × R
    5.37799999998922e-05 × 6371000     		dr = 342.632379999314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21130585--0.21120998) × cos(0.97531571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.560906711823973 × 6371000     		do = 342.594959692989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21130585--0.21120998) × cos(0.97526193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.560951234346133 × 6371000     		du = 342.622153505015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97531571)-sin(0.97526193))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560906711823973-0.560951234346133)×R²
    abs(-0.21120998--0.21130585)×4.45225221606949e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45225221606949e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45225221606949e-05×40589641000000     		ar = 117388.78518404m²