Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30564 / 20190
↖ ↑ ↗
← N 56.662265°
W 12.106933°		 ← 335.67 m → N 56.662265°
W 12.101440°		 →
↑
335.69 m
↓
↑
335.69 m
↓
N 56.659246°
W 12.106933°		 ← 335.70 m →
112 686 m²		 N 56.659246°
W 12.101440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466377258300781 y=0.308082580566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466377258300781 × 216)
    floor (0.466377258300781 × 65536)
    floor (30564.5)     		tx = 30564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308082580566406 × 216)
    floor (0.308082580566406 × 65536)
    floor (20190.5)     		ty = 20190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30564 / 20190 ti = "16/30564/20190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30564/20190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30564 ÷ 216
    30564 ÷ 65536     		x = 0.46636962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20190 ÷ 216
    20190 ÷ 65536     		y = 0.308074951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46636962890625 × 2 - 1) × π
    -0.0672607421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21130585
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308074951171875 × 2 - 1) × π
    0.38385009765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20590064684213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21130585} λ = -0.21130585}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20590064684213))-π/2
    2×atan(3.33976567333106)-π/2
    2×1.27986970430932-π/2
    2.55973940861865-1.57079632675     		φ = 0.98894308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21130585} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.106933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98894308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.662265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30564 KachelY 20190 -0.21130585 0.98894308 -12.106933 56.662265
    Oben rechts KachelX + 1 30565 KachelY 20190 -0.21120998 0.98894308 -12.101440 56.662265
    Unten links KachelX 30564 KachelY + 1 20191 -0.21130585 0.98889039 -12.106933 56.659246
    Unten rechts KachelX + 1 30565 KachelY + 1 20191 -0.21120998 0.98889039 -12.101440 56.659246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98894308-0.98889039) × R
    5.26899999999664e-05 × 6371000     		dl = 335.687989999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98894308-0.98889039) × R
    5.26899999999664e-05 × 6371000     		dr = 335.687989999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21130585--0.21120998) × cos(0.98894308) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.549573166529204 × 6371000     		do = 335.672568836204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21130585--0.21120998) × cos(0.98889039) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.549617185394473 × 6371000     		du = 335.699455020759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98894308)-sin(0.98889039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549573166529204-0.549617185394473)×R²
    abs(-0.21120998--0.21130585)×4.40188652688356e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40188652688356e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40188652688356e-05×40589641000000     		ar = 112685.762641637m²