Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30563 / 20187
↖ ↑ ↗
← N 56.671320°
W 12.112427°		 ← 335.63 m → N 56.671320°
W 12.106933°		 →
↑
335.62 m
↓
↑
335.62 m
↓
N 56.668302°
W 12.112427°		 ← 335.65 m →
112 649 m²		 N 56.668302°
W 12.106933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466361999511719 y=0.308036804199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466361999511719 × 216)
    floor (0.466361999511719 × 65536)
    floor (30563.5)     		tx = 30563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308036804199219 × 216)
    floor (0.308036804199219 × 65536)
    floor (20187.5)     		ty = 20187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30563 / 20187 ti = "16/30563/20187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30563/20187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30563 ÷ 216
    30563 ÷ 65536     		x = 0.466354370117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20187 ÷ 216
    20187 ÷ 65536     		y = 0.308029174804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466354370117188 × 2 - 1) × π
    -0.067291259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21140173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308029174804688 × 2 - 1) × π
    0.383941650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.20618826823985
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21140173} λ = -0.21140173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20618826823985))-π/2
    2×atan(3.34072639955817)-π/2
    2×1.27994872931501-π/2
    2.55989745863002-1.57079632675     		φ = 0.98910113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21140173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.112427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98910113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.671320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30563 KachelY 20187 -0.21140173 0.98910113 -12.112427 56.671320
    Oben rechts KachelX + 1 30564 KachelY 20187 -0.21130585 0.98910113 -12.106933 56.671320
    Unten links KachelX 30563 KachelY + 1 20188 -0.21140173 0.98904845 -12.112427 56.668302
    Unten rechts KachelX + 1 30564 KachelY + 1 20188 -0.21130585 0.98904845 -12.106933 56.668302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98910113-0.98904845) × R
    5.26800000000271e-05 × 6371000     		dl = 335.624280000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98910113-0.98904845) × R
    5.26800000000271e-05 × 6371000     		dr = 335.624280000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21140173--0.21130585) × cos(0.98910113) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.549441117490066 × 6371000     		do = 335.626919791732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21140173--0.21130585) × cos(0.98904845) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.549485132576589 × 6371000     		du = 335.653806472477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98910113)-sin(0.98904845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549441117490066-0.549485132576589)×R²
    abs(-0.21130585--0.21140173)×4.40150865229638e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.40150865229638e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.40150865229638e-05×40589641000000     		ar = 112649.055241414m²