Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30562 / 20447
↖ ↑ ↗
← N 55.878393°
W 12.117920°		 ← 342.62 m → N 55.878393°
W 12.112427°		 →
↑
342.70 m
↓
↑
342.70 m
↓
N 55.875311°
W 12.117920°		 ← 342.65 m →
117 420 m²		 N 55.875311°
W 12.112427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466346740722656 y=0.312004089355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466346740722656 × 216)
    floor (0.466346740722656 × 65536)
    floor (30562.5)     		tx = 30562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312004089355469 × 216)
    floor (0.312004089355469 × 65536)
    floor (20447.5)     		ty = 20447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30562 / 20447 ti = "16/30562/20447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30562/20447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30562 ÷ 216
    30562 ÷ 65536     		x = 0.466339111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20447 ÷ 216
    20447 ÷ 65536     		y = 0.311996459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466339111328125 × 2 - 1) × π
    -0.06732177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21149760
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311996459960938 × 2 - 1) × π
    0.376007080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18126108043742
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21149760} λ = -0.21149760}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18126108043742))-π/2
    2×atan(3.25848081937561)-π/2
    2×1.27302912704733-π/2
    2.54605825409465-1.57079632675     		φ = 0.97526193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21149760} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.117920°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97526193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.878393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30562 KachelY 20447 -0.21149760 0.97526193 -12.117920 55.878393
    Oben rechts KachelX + 1 30563 KachelY 20447 -0.21140173 0.97526193 -12.112427 55.878393
    Unten links KachelX 30562 KachelY + 1 20448 -0.21149760 0.97520814 -12.117920 55.875311
    Unten rechts KachelX + 1 30563 KachelY + 1 20448 -0.21140173 0.97520814 -12.112427 55.875311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97526193-0.97520814) × R
    5.37900000000535e-05 × 6371000     		dl = 342.696090000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97526193-0.97520814) × R
    5.37900000000535e-05 × 6371000     		dr = 342.696090000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21149760--0.21140173) × cos(0.97526193) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.560951234346133 × 6371000     		do = 342.622153505015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21149760--0.21140173) × cos(0.97520814) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.560995763524048 × 6371000     		du = 342.649351382293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97526193)-sin(0.97520814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560951234346133-0.560995763524048)×R²
    abs(-0.21140173--0.21149760)×4.45291779148649e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45291779148649e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45291779148649e-05×40589641000000     		ar = 117419.93268477m²