Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30559 / 20449
↖ ↑ ↗
← N 55.872229°
W 12.134399°		 ← 342.68 m → N 55.872229°
W 12.128906°		 →
↑
342.70 m
↓
↑
342.70 m
↓
N 55.869147°
W 12.134399°		 ← 342.70 m →
117 439 m²		 N 55.869147°
W 12.128906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466300964355469 y=0.312034606933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466300964355469 × 216)
    floor (0.466300964355469 × 65536)
    floor (30559.5)     		tx = 30559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312034606933594 × 216)
    floor (0.312034606933594 × 65536)
    floor (20449.5)     		ty = 20449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30559 / 20449 ti = "16/30559/20449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30559/20449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30559 ÷ 216
    30559 ÷ 65536     		x = 0.466293334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20449 ÷ 216
    20449 ÷ 65536     		y = 0.312026977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466293334960938 × 2 - 1) × π
    -0.067413330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21178522
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312026977539062 × 2 - 1) × π
    0.375946044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18106933283894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21178522} λ = -0.21178522}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18106933283894))-π/2
    2×atan(3.25785607340249)-π/2
    2×1.27297534225246-π/2
    2.54595068450492-1.57079632675     		φ = 0.97515436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21178522} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.134399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97515436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.872229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30559 KachelY 20449 -0.21178522 0.97515436 -12.134399 55.872229
    Oben rechts KachelX + 1 30560 KachelY 20449 -0.21168935 0.97515436 -12.128906 55.872229
    Unten links KachelX 30559 KachelY + 1 20450 -0.21178522 0.97510057 -12.134399 55.869147
    Unten rechts KachelX + 1 30560 KachelY + 1 20450 -0.21168935 0.97510057 -12.128906 55.869147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97515436-0.97510057) × R
    5.37899999999425e-05 × 6371000     		dl = 342.696089999634m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97515436-0.97510057) × R
    5.37899999999425e-05 × 6371000     		dr = 342.696089999634m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21178522--0.21168935) × cos(0.97515436) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.561040282800913 × 6371000     		do = 342.676543212131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21178522--0.21168935) × cos(0.97510057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.561084808732671 × 6371000     		du = 342.703739106697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97515436)-sin(0.97510057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561040282800913-0.561084808732671)×R²
    abs(-0.21168935--0.21178522)×4.4525931757744e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4525931757744e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4525931757744e-05×40589641000000     		ar = 117438.571485047m²