Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30558 / 28979
↖ ↑ ↗
← S 79.787010°
E155.720215°		 ← 216.61 m → S 79.787010°
E155.731201°		 →
↑
216.61 m
↓
↑
216.61 m
↓
S 79.788958°
E155.720215°		 ← 216.57 m →
46 916 m²		 S 79.788958°
E155.731201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30558 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932571411132812 y=0.884384155273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932571411132812 × 215)
    floor (0.932571411132812 × 32768)
    floor (30558.5)     		tx = 30558
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884384155273438 × 215)
    floor (0.884384155273438 × 32768)
    floor (28979.5)     		ty = 28979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30558 / 28979 ti = "15/30558/28979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30558/28979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30558 ÷ 215
    30558 ÷ 32768     		x = 0.93255615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28979 ÷ 215
    28979 ÷ 32768     		y = 0.884368896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.93255615234375 × 2 - 1) × π
    0.8651123046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.71783046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884368896484375 × 2 - 1) × π
    -0.76873779296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41506100285843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71783046} λ = 2.71783046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41506100285843))-π/2
    2×atan(0.0893618874249089)-π/2
    2×0.0891251528186998-π/2
    0.1782503056374-1.57079632675     		φ = -1.39254602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71783046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.720215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39254602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.787010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30558 KachelY 28979 2.71783046 -1.39254602 155.720215 -79.787010
    Oben rechts KachelX + 1 30559 KachelY 28979 2.71802221 -1.39254602 155.731201 -79.787010
    Unten links KachelX 30558 KachelY + 1 28980 2.71783046 -1.39258002 155.720215 -79.788958
    Unten rechts KachelX + 1 30559 KachelY + 1 28980 2.71802221 -1.39258002 155.731201 -79.788958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39254602--1.39258002) × R
    3.40000000000895e-05 × 6371000     		dl = 216.61400000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39254602--1.39258002) × R
    3.40000000000895e-05 × 6371000     		dr = 216.61400000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71783046-2.71802221) × cos(-1.39254602) × R
    0.000191749999999935 × 0.177307875637151 × 6371000     		do = 216.606260212389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71783046-2.71802221) × cos(-1.39258002) × R
    0.000191749999999935 × 0.177274414249936 × 6371000     		du = 216.565382468407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39254602)-sin(-1.39258002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177307875637151-0.177274414249936)×R²
    abs(2.71802221-2.71783046)×3.34613872157441e-05×R²
    0.000191749999999935×3.34613872157441e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.34613872157441e-05×40589641000000     		ar = 46915.5211084429m²