Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30556 / 28984
↖ ↑ ↗
← S 79.796745°
E155.698242°		 ← 216.39 m → S 79.796745°
E155.709228°		 →
↑
216.42 m
↓
↑
216.42 m
↓
S 79.798691°
E155.698242°		 ← 216.35 m →
46 827 m²		 S 79.798691°
E155.709228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932510375976562 y=0.884536743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932510375976562 × 215)
    floor (0.932510375976562 × 32768)
    floor (30556.5)     		tx = 30556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884536743164062 × 215)
    floor (0.884536743164062 × 32768)
    floor (28984.5)     		ty = 28984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30556 / 28984 ti = "15/30556/28984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30556/28984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30556 ÷ 215
    30556 ÷ 32768     		x = 0.9324951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28984 ÷ 215
    28984 ÷ 32768     		y = 0.884521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9324951171875 × 2 - 1) × π
    0.864990234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.71744697
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884521484375 × 2 - 1) × π
    -0.76904296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.41601974085083
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71744697} λ = 2.71744697}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41601974085083))-π/2
    2×atan(0.0892762538450046)-π/2
    2×0.0890401970075043-π/2
    0.178080394015009-1.57079632675     		φ = -1.39271593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71744697} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.698242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39271593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.796745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30556 KachelY 28984 2.71744697 -1.39271593 155.698242 -79.796745
    Oben rechts KachelX + 1 30557 KachelY 28984 2.71763871 -1.39271593 155.709228 -79.796745
    Unten links KachelX 30556 KachelY + 1 28985 2.71744697 -1.39274990 155.698242 -79.798691
    Unten rechts KachelX + 1 30557 KachelY + 1 28985 2.71763871 -1.39274990 155.709228 -79.798691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39271593--1.39274990) × R
    3.39700000000498e-05 × 6371000     		dl = 216.422870000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39271593--1.39274990) × R
    3.39700000000498e-05 × 6371000     		dr = 216.422870000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71744697-2.71763871) × cos(-1.39271593) × R
    0.000191739999999996 × 0.177140655228867 × 6371000     		do = 216.390691567153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71744697-2.71763871) × cos(-1.39274990) × R
    0.000191739999999996 × 0.177107222343681 × 6371000     		du = 216.349850772378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39271593)-sin(-1.39274990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177140655228867-0.177107222343681)×R²
    abs(2.71763871-2.71744697)×3.34328851860077e-05×R²
    0.000191739999999996×3.34328851860077e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.34328851860077e-05×40589641000000     		ar = 46827.4750731939m²