Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30556 / 20476
↖ ↑ ↗
← N 55.788929°
W 12.150879°		 ← 343.41 m → N 55.788929°
W 12.145386°		 →
↑
343.46 m
↓
↑
343.46 m
↓
N 55.785840°
W 12.150879°		 ← 343.44 m →
117 953 m²		 N 55.785840°
W 12.145386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30556 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466255187988281 y=0.312446594238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466255187988281 × 216)
    floor (0.466255187988281 × 65536)
    floor (30556.5)     		tx = 30556
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312446594238281 × 216)
    floor (0.312446594238281 × 65536)
    floor (20476.5)     		ty = 20476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30556 / 20476 ti = "16/30556/20476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30556/20476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30556 ÷ 216
    30556 ÷ 65536     		x = 0.46624755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20476 ÷ 216
    20476 ÷ 65536     		y = 0.31243896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46624755859375 × 2 - 1) × π
    -0.0675048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21207284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31243896484375 × 2 - 1) × π
    0.3751220703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17848074025946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21207284} λ = -0.21207284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17848074025946))-π/2
    2×atan(3.24943371707345)-π/2
    2×1.27224841159129-π/2
    2.54449682318258-1.57079632675     		φ = 0.97370050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21207284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.150879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97370050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.788929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30556 KachelY 20476 -0.21207284 0.97370050 -12.150879 55.788929
    Oben rechts KachelX + 1 30557 KachelY 20476 -0.21197697 0.97370050 -12.145386 55.788929
    Unten links KachelX 30556 KachelY + 1 20477 -0.21207284 0.97364659 -12.150879 55.785840
    Unten rechts KachelX + 1 30557 KachelY + 1 20477 -0.21197697 0.97364659 -12.145386 55.785840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97370050-0.97364659) × R
    5.39099999999904e-05 × 6371000     		dl = 343.460609999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97370050-0.97364659) × R
    5.39099999999904e-05 × 6371000     		dr = 343.460609999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21207284--0.21197697) × cos(0.97370050) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.562243178028038 × 6371000     		do = 343.41125690555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21207284--0.21197697) × cos(0.97364659) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.562287759268908 × 6371000     		du = 343.438486582245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97370050)-sin(0.97364659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562243178028038-0.562287759268908)×R²
    abs(-0.21197697--0.21207284)×4.45812408697011e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.45812408697011e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.45812408697011e-05×40589641000000     		ar = 117952.915966996m²