Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30555 / 20487
↖ ↑ ↗
← N 55.754941°
W 12.156372°		 ← 343.75 m → N 55.754941°
W 12.150879°		 →
↑
343.72 m
↓
↑
343.72 m
↓
N 55.751850°
W 12.156372°		 ← 343.77 m →
118 156 m²		 N 55.751850°
W 12.150879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466239929199219 y=0.312614440917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466239929199219 × 216)
    floor (0.466239929199219 × 65536)
    floor (30555.5)     		tx = 30555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312614440917969 × 216)
    floor (0.312614440917969 × 65536)
    floor (20487.5)     		ty = 20487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30555 / 20487 ti = "16/30555/20487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30555/20487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30555 ÷ 216
    30555 ÷ 65536     		x = 0.466232299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20487 ÷ 216
    20487 ÷ 65536     		y = 0.312606811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466232299804688 × 2 - 1) × π
    -0.067535400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21216872
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312606811523438 × 2 - 1) × π
    0.374786376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.17742612846782
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21216872} λ = -0.21216872}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17742612846782))-π/2
    2×atan(3.24600863234409)-π/2
    2×1.27195180814421-π/2
    2.54390361628842-1.57079632675     		φ = 0.97310729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21216872} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.156372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97310729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.754941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30555 KachelY 20487 -0.21216872 0.97310729 -12.156372 55.754941
    Oben rechts KachelX + 1 30556 KachelY 20487 -0.21207284 0.97310729 -12.150879 55.754941
    Unten links KachelX 30555 KachelY + 1 20488 -0.21216872 0.97305334 -12.156372 55.751850
    Unten rechts KachelX + 1 30556 KachelY + 1 20488 -0.21207284 0.97305334 -12.150879 55.751850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97310729-0.97305334) × R
    5.39499999999693e-05 × 6371000     		dl = 343.715449999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97310729-0.97305334) × R
    5.39499999999693e-05 × 6371000     		dr = 343.715449999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21216872--0.21207284) × cos(0.97310729) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.562733647104534 × 6371000     		do = 343.746681179576m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21216872--0.21207284) × cos(0.97305334) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.562778243420655 × 6371000     		du = 343.773922905281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97310729)-sin(0.97305334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562733647104534-0.562778243420655)×R²
    abs(-0.21207284--0.21216872)×4.45963161216367e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.45963161216367e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.45963161216367e-05×40589641000000     		ar = 118155.726937141m²