Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30554 / 20490
↖ ↑ ↗
← N 55.745666°
W 12.161865°		 ← 343.79 m → N 55.745666°
W 12.156372°		 →
↑
343.84 m
↓
↑
343.84 m
↓
N 55.742574°
W 12.161865°		 ← 343.82 m →
118 215 m²		 N 55.742574°
W 12.156372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466224670410156 y=0.312660217285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466224670410156 × 216)
    floor (0.466224670410156 × 65536)
    floor (30554.5)     		tx = 30554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312660217285156 × 216)
    floor (0.312660217285156 × 65536)
    floor (20490.5)     		ty = 20490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30554 / 20490 ti = "16/30554/20490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30554/20490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30554 ÷ 216
    30554 ÷ 65536     		x = 0.466217041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20490 ÷ 216
    20490 ÷ 65536     		y = 0.312652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466217041015625 × 2 - 1) × π
    -0.06756591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21226459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312652587890625 × 2 - 1) × π
    0.37469482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.1771385070701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21226459} λ = -0.21226459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1771385070701))-π/2
    2×atan(3.24507514505614)-π/2
    2×1.27187087140411-π/2
    2.54374174280822-1.57079632675     		φ = 0.97294542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21226459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.161865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97294542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.745666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30554 KachelY 20490 -0.21226459 0.97294542 -12.161865 55.745666
    Oben rechts KachelX + 1 30555 KachelY 20490 -0.21216872 0.97294542 -12.156372 55.745666
    Unten links KachelX 30554 KachelY + 1 20491 -0.21226459 0.97289145 -12.161865 55.742574
    Unten rechts KachelX + 1 30555 KachelY + 1 20491 -0.21216872 0.97289145 -12.156372 55.742574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97294542-0.97289145) × R
    5.39699999999588e-05 × 6371000     		dl = 343.842869999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97294542-0.97289145) × R
    5.39699999999588e-05 × 6371000     		dr = 343.842869999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21226459--0.21216872) × cos(0.97294542) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562867447669641 × 6371000     		do = 343.792553167724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21226459--0.21216872) × cos(0.97289145) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.562912055601031 × 6371000     		du = 343.819799146662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97294542)-sin(0.97289145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.562867447669641-0.562912055601031)×R²
    abs(-0.21216872--0.21226459)×4.46079313897174e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.46079313897174e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.46079313897174e-05×40589641000000     		ar = 118215.302362241m²