Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30554 / 20454
↖ ↑ ↗
← N 55.856817°
W 12.161865°		 ← 342.81 m → N 55.856817°
W 12.156372°		 →
↑
342.82 m
↓
↑
342.82 m
↓
N 55.853734°
W 12.161865°		 ← 342.84 m →
117 529 m²		 N 55.853734°
W 12.156372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30554 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466224670410156 y=0.312110900878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466224670410156 × 216)
    floor (0.466224670410156 × 65536)
    floor (30554.5)     		tx = 30554
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312110900878906 × 216)
    floor (0.312110900878906 × 65536)
    floor (20454.5)     		ty = 20454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30554 / 20454 ti = "16/30554/20454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30554/20454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30554 ÷ 216
    30554 ÷ 65536     		x = 0.466217041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20454 ÷ 216
    20454 ÷ 65536     		y = 0.312103271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466217041015625 × 2 - 1) × π
    -0.06756591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21226459
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312103271484375 × 2 - 1) × π
    0.37579345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18058996384274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21226459} λ = -0.21226459}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18058996384274))-π/2
    2×atan(3.25629473246593)-π/2
    2×1.27284084291104-π/2
    2.54568168582208-1.57079632675     		φ = 0.97488536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21226459} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.161865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97488536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.856817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30554 KachelY 20454 -0.21226459 0.97488536 -12.161865 55.856817
    Oben rechts KachelX + 1 30555 KachelY 20454 -0.21216872 0.97488536 -12.156372 55.856817
    Unten links KachelX 30554 KachelY + 1 20455 -0.21226459 0.97483155 -12.161865 55.853734
    Unten rechts KachelX + 1 30555 KachelY + 1 20455 -0.21216872 0.97483155 -12.156372 55.853734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97488536-0.97483155) × R
    5.3810000000043e-05 × 6371000     		dl = 342.823510000274m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97488536-0.97483155) × R
    5.3810000000043e-05 × 6371000     		dr = 342.823510000274m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21226459--0.21216872) × cos(0.97488536) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.561262937606065 × 6371000     		do = 342.81253804405m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21226459--0.21216872) × cos(0.97483155) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.561307471970059 × 6371000     		du = 342.839739088922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97488536)-sin(0.97483155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561262937606065-0.561307471970059)×R²
    abs(-0.21216872--0.21226459)×4.45343639938756e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.45343639938756e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.45343639938756e-05×40589641000000     		ar = 117528.860171884m²