Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30553 / 20201
↖ ↑ ↗
← N 56.629042°
W 12.167359°		 ← 336 m → N 56.629042°
W 12.161865°		 →
↑
336.01 m
↓
↑
336.01 m
↓
N 56.626021°
W 12.167359°		 ← 336.03 m →
112 904 m²		 N 56.626021°
W 12.161865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466209411621094 y=0.308250427246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466209411621094 × 216)
    floor (0.466209411621094 × 65536)
    floor (30553.5)     		tx = 30553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308250427246094 × 216)
    floor (0.308250427246094 × 65536)
    floor (20201.5)     		ty = 20201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30553 / 20201 ti = "16/30553/20201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30553/20201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30553 ÷ 216
    30553 ÷ 65536     		x = 0.466201782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20201 ÷ 216
    20201 ÷ 65536     		y = 0.308242797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466201782226562 × 2 - 1) × π
    -0.067596435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.21236047
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308242797851562 × 2 - 1) × π
    0.383514404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20484603505049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21236047} λ = -0.21236047}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20484603505049))-π/2
    2×atan(3.33624537367169)-π/2
    2×1.27957978345383-π/2
    2.55915956690765-1.57079632675     		φ = 0.98836324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21236047} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.167359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98836324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.629042°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30553 KachelY 20201 -0.21236047 0.98836324 -12.167359 56.629042
    Oben rechts KachelX + 1 30554 KachelY 20201 -0.21226459 0.98836324 -12.161865 56.629042
    Unten links KachelX 30553 KachelY + 1 20202 -0.21236047 0.98831050 -12.167359 56.626021
    Unten rechts KachelX + 1 30554 KachelY + 1 20202 -0.21226459 0.98831050 -12.161865 56.626021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98836324-0.98831050) × R
    5.27399999999956e-05 × 6371000     		dl = 336.006539999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98836324-0.98831050) × R
    5.27399999999956e-05 × 6371000     		dr = 336.006539999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21236047--0.21226459) × cos(0.98836324) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.550057498886025 × 6371000     		do = 336.003437279601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21236047--0.21226459) × cos(0.98831050) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.550101542707679 × 6371000     		du = 336.030341513243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98836324)-sin(0.98831050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550057498886025-0.550101542707679)×R²
    abs(-0.21226459--0.21236047)×4.40438216542383e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.40438216542383e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.40438216542383e-05×40589641000000     		ar = 112903.872414074m²