Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30552 / 20662
↖ ↑ ↗
← N 55.210222°
W 12.172852°		 ← 348.50 m → N 55.210222°
W 12.167359°		 →
↑
348.56 m
↓
↑
348.56 m
↓
N 55.207088°
W 12.172852°		 ← 348.52 m →
121 475 m²		 N 55.207088°
W 12.167359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466194152832031 y=0.315284729003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466194152832031 × 216)
    floor (0.466194152832031 × 65536)
    floor (30552.5)     		tx = 30552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.315284729003906 × 216)
    floor (0.315284729003906 × 65536)
    floor (20662.5)     		ty = 20662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30552 / 20662 ti = "16/30552/20662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30552/20662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30552 ÷ 216
    30552 ÷ 65536     		x = 0.4661865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20662 ÷ 216
    20662 ÷ 65536     		y = 0.315277099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4661865234375 × 2 - 1) × π
    -0.067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21245634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.315277099609375 × 2 - 1) × π
    0.36944580078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1606482136008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21245634} λ = -0.21245634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1606482136008))-π/2
    2×atan(3.19200170457071)-π/2
    2×1.26719824235997-π/2
    2.53439648471994-1.57079632675     		φ = 0.96360016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21245634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.172852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96360016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.210222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30552 KachelY 20662 -0.21245634 0.96360016 -12.172852 55.210222
    Oben rechts KachelX + 1 30553 KachelY 20662 -0.21236047 0.96360016 -12.167359 55.210222
    Unten links KachelX 30552 KachelY + 1 20663 -0.21245634 0.96354545 -12.172852 55.207088
    Unten rechts KachelX + 1 30553 KachelY + 1 20663 -0.21236047 0.96354545 -12.167359 55.207088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96360016-0.96354545) × R
    5.47100000000134e-05 × 6371000     		dl = 348.557410000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96360016-0.96354545) × R
    5.47100000000134e-05 × 6371000     		dr = 348.557410000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21245634--0.21236047) × cos(0.96360016) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570567054990951 × 6371000     		do = 348.495379153383m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21245634--0.21236047) × cos(0.96354545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.570611984780257 × 6371000     		du = 348.522821719199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96360016)-sin(0.96354545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570567054990951-0.570611984780257)×R²
    abs(-0.21236047--0.21245634)×4.49297893059253e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.49297893059253e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.49297893059253e-05×40589641000000     		ar = 121475.429439869m²