Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30552 / 20197
↖ ↑ ↗
← N 56.641127°
W 12.172852°		 ← 335.86 m → N 56.641127°
W 12.167359°		 →
↑
335.88 m
↓
↑
335.88 m
↓
N 56.638106°
W 12.172852°		 ← 335.89 m →
112 813 m²		 N 56.638106°
W 12.167359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466194152832031 y=0.308189392089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466194152832031 × 216)
    floor (0.466194152832031 × 65536)
    floor (30552.5)     		tx = 30552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308189392089844 × 216)
    floor (0.308189392089844 × 65536)
    floor (20197.5)     		ty = 20197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30552 / 20197 ti = "16/30552/20197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30552/20197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30552 ÷ 216
    30552 ÷ 65536     		x = 0.4661865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20197 ÷ 216
    20197 ÷ 65536     		y = 0.308181762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4661865234375 × 2 - 1) × π
    -0.067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21245634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308181762695312 × 2 - 1) × π
    0.383636474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20522953024745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21245634} λ = -0.21245634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20522953024745))-π/2
    2×atan(3.33752505310815)-π/2
    2×1.27968523876963-π/2
    2.55937047753926-1.57079632675     		φ = 0.98857415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21245634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.172852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98857415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.641127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30552 KachelY 20197 -0.21245634 0.98857415 -12.172852 56.641127
    Oben rechts KachelX + 1 30553 KachelY 20197 -0.21236047 0.98857415 -12.167359 56.641127
    Unten links KachelX 30552 KachelY + 1 20198 -0.21245634 0.98852143 -12.172852 56.638106
    Unten rechts KachelX + 1 30553 KachelY + 1 20198 -0.21236047 0.98852143 -12.167359 56.638106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98857415-0.98852143) × R
    5.27200000000061e-05 × 6371000     		dl = 335.879120000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98857415-0.98852143) × R
    5.27200000000061e-05 × 6371000     		dr = 335.879120000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21245634--0.21236047) × cos(0.98857415) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.549881350062882 × 6371000     		do = 335.86080356949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21245634--0.21236047) × cos(0.98852143) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.549925383298032 × 6371000     		du = 335.887698530993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98857415)-sin(0.98852143))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.549881350062882-0.549925383298032)×R²
    abs(-0.21236047--0.21245634)×4.40332351497874e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40332351497874e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40332351497874e-05×40589641000000     		ar = 112813.147899617m²