Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30552 / 17041
↖ ↑ ↗
← N 65.032742°
W 12.172852°		 ← 257.81 m → N 65.032742°
W 12.167359°		 →
↑
257.83 m
↓
↑
257.83 m
↓
N 65.030423°
W 12.172852°		 ← 257.84 m →
66 476 m²		 N 65.030423°
W 12.167359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466194152832031 y=0.260032653808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466194152832031 × 216)
    floor (0.466194152832031 × 65536)
    floor (30552.5)     		tx = 30552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260032653808594 × 216)
    floor (0.260032653808594 × 65536)
    floor (17041.5)     		ty = 17041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30552 / 17041 ti = "16/30552/17041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30552/17041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30552 ÷ 216
    30552 ÷ 65536     		x = 0.4661865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17041 ÷ 216
    17041 ÷ 65536     		y = 0.260025024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4661865234375 × 2 - 1) × π
    -0.067626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21245634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260025024414062 × 2 - 1) × π
    0.479949951171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50780724064925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21245634} λ = -0.21245634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50780724064925))-π/2
    2×atan(4.5168156377856)-π/2
    2×1.35291589701488-π/2
    2.70583179402976-1.57079632675     		φ = 1.13503547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21245634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.172852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13503547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.032742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30552 KachelY 17041 -0.21245634 1.13503547 -12.172852 65.032742
    Oben rechts KachelX + 1 30553 KachelY 17041 -0.21236047 1.13503547 -12.167359 65.032742
    Unten links KachelX 30552 KachelY + 1 17042 -0.21245634 1.13499500 -12.172852 65.030423
    Unten rechts KachelX + 1 30553 KachelY + 1 17042 -0.21236047 1.13499500 -12.167359 65.030423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13503547-1.13499500) × R
    4.04700000000702e-05 × 6371000     		dl = 257.834370000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13503547-1.13499500) × R
    4.04700000000702e-05 × 6371000     		dr = 257.834370000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21245634--0.21236047) × cos(1.13503547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422100277555966 × 6371000     		do = 257.813687244784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21245634--0.21236047) × cos(1.13499500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422136965254267 × 6371000     		du = 257.836095642216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13503547)-sin(1.13499500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422100277555966-0.422136965254267)×R²
    abs(-0.21236047--0.21245634)×3.66876983015074e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66876983015074e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66876983015074e-05×40589641000000     		ar = 66476.1184649846m²