Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30551 / 28632
↖ ↑ ↗
← N 70.649051°
W 96.089172°		 ← 101.18 m → N 70.649051°
W 96.086426°		 →
↑
101.24 m
↓
↑
101.24 m
↓
N 70.648140°
W 96.089172°		 ← 101.19 m →
10 243 m²		 N 70.648140°
W 96.086426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.233089447021484 y=0.218448638916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.233089447021484 × 217)
    floor (0.233089447021484 × 131072)
    floor (30551.5)     		tx = 30551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218448638916016 × 217)
    floor (0.218448638916016 × 131072)
    floor (28632.5)     		ty = 28632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30551 / 28632 ti = "17/30551/28632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30551/28632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30551 ÷ 217
    30551 ÷ 131072     		x = 0.233085632324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28632 ÷ 217
    28632 ÷ 131072     		y = 0.21844482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.233085632324219 × 2 - 1) × π
    -0.533828735351562 × 3.1415926535     		Λ = -1.67707243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21844482421875 × 2 - 1) × π
    0.5631103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76906334357855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.67707243} λ = -1.67707243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76906334357855))-π/2
    2×atan(5.86535696340236)-π/2
    2×1.40192743806307-π/2
    2.80385487612615-1.57079632675     		φ = 1.23305855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.67707243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.089172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23305855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.649051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30551 KachelY 28632 -1.67707243 1.23305855 -96.089172 70.649051
    Oben rechts KachelX + 1 30552 KachelY 28632 -1.67702450 1.23305855 -96.086426 70.649051
    Unten links KachelX 30551 KachelY + 1 28633 -1.67707243 1.23304266 -96.089172 70.648140
    Unten rechts KachelX + 1 30552 KachelY + 1 28633 -1.67702450 1.23304266 -96.086426 70.648140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23305855-1.23304266) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dl = 101.235190000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23305855-1.23304266) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dr = 101.235190000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.67707243--1.67702450) × cos(1.23305855) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331353519143441 × 6371000     		do = 101.182783253347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.67707243--1.67702450) × cos(1.23304266) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.331368511422671 × 6371000     		du = 101.187361326167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23305855)-sin(1.23304266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331353519143441-0.331368511422671)×R²
    abs(-1.67702450--1.67707243)×1.49922792295754e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49922792295754e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49922792295754e-05×40589641000000     		ar = 10243.4900187123m²