Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30551 / 17040
↖ ↑ ↗
← N 65.035060°
W 12.178345°		 ← 257.79 m → N 65.035060°
W 12.172852°		 →
↑
257.77 m
↓
↑
257.77 m
↓
N 65.032742°
W 12.178345°		 ← 257.81 m →
66 454 m²		 N 65.032742°
W 12.172852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30551 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466178894042969 y=0.260017395019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466178894042969 × 216)
    floor (0.466178894042969 × 65536)
    floor (30551.5)     		tx = 30551
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260017395019531 × 216)
    floor (0.260017395019531 × 65536)
    floor (17040.5)     		ty = 17040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30551 / 17040 ti = "16/30551/17040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30551/17040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30551 ÷ 216
    30551 ÷ 65536     		x = 0.466171264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17040 ÷ 216
    17040 ÷ 65536     		y = 0.260009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466171264648438 × 2 - 1) × π
    -0.067657470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21255221
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260009765625 × 2 - 1) × π
    0.47998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50790311444849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21255221} λ = -0.21255221}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50790311444849))-π/2
    2×atan(4.51724870282073)-π/2
    2×1.35293613031434-π/2
    2.70587226062867-1.57079632675     		φ = 1.13507593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21255221} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.178345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13507593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.035060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30551 KachelY 17040 -0.21255221 1.13507593 -12.178345 65.035060
    Oben rechts KachelX + 1 30552 KachelY 17040 -0.21245634 1.13507593 -12.172852 65.035060
    Unten links KachelX 30551 KachelY + 1 17041 -0.21255221 1.13503547 -12.178345 65.032742
    Unten rechts KachelX + 1 30552 KachelY + 1 17041 -0.21245634 1.13503547 -12.172852 65.032742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13507593-1.13503547) × R
    4.04599999999089e-05 × 6371000     		dl = 257.77065999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13507593-1.13503547) × R
    4.04599999999089e-05 × 6371000     		dr = 257.77065999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21255221--0.21245634) × cos(1.13507593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422063598232002 × 6371000     		do = 257.791283962295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21255221--0.21245634) × cos(1.13503547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.422100277555966 × 6371000     		du = 257.813687244784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13507593)-sin(1.13503547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422063598232002-0.422100277555966)×R²
    abs(-0.21245634--0.21255221)×3.66793239637286e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66793239637286e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66793239637286e-05×40589641000000     		ar = 66453.9168722644m²