Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30550 / 41546
↖ ↑ ↗
← S 43.365125°
W 12.183838°		 ← 444.08 m → S 43.365125°
W 12.178345°		 →
↑
444.06 m
↓
↑
444.06 m
↓
S 43.369119°
W 12.183838°		 ← 444.06 m →
197 193 m²		 S 43.369119°
W 12.178345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30550 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466163635253906 y=0.633949279785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466163635253906 × 216)
    floor (0.466163635253906 × 65536)
    floor (30550.5)     		tx = 30550
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633949279785156 × 216)
    floor (0.633949279785156 × 65536)
    floor (41546.5)     		ty = 41546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30550 / 41546 ti = "16/30550/41546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30550/41546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30550 ÷ 216
    30550 ÷ 65536     		x = 0.466156005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41546 ÷ 216
    41546 ÷ 65536     		y = 0.633941650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466156005859375 × 2 - 1) × π
    -0.06768798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.21264809
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633941650390625 × 2 - 1) × π
    -0.26788330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.841580209729706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21264809} λ = -0.21264809}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841580209729706))-π/2
    2×atan(0.431028868979882)-π/2
    2×0.406966051152122-π/2
    0.813932102304244-1.57079632675     		φ = -0.75686422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21264809} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.183838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75686422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.365125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30550 KachelY 41546 -0.21264809 -0.75686422 -12.183838 -43.365125
    Oben rechts KachelX + 1 30551 KachelY 41546 -0.21255221 -0.75686422 -12.178345 -43.365125
    Unten links KachelX 30550 KachelY + 1 41547 -0.21264809 -0.75693392 -12.183838 -43.369119
    Unten rechts KachelX + 1 30551 KachelY + 1 41547 -0.21255221 -0.75693392 -12.178345 -43.369119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75686422--0.75693392) × R
    6.97000000000614e-05 × 6371000     		dl = 444.058700000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75686422--0.75693392) × R
    6.97000000000614e-05 × 6371000     		dr = 444.058700000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21264809--0.21255221) × cos(-0.75686422) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.72699274959419 × 6371000     		do = 444.084597038974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21264809--0.21255221) × cos(-0.75693392) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.726944888662389 × 6371000     		du = 444.05536111795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75686422)-sin(-0.75693392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.72699274959419-0.726944888662389)×R²
    abs(-0.21255221--0.21264809)×4.78609318003143e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.78609318003143e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.78609318003143e-05×40589641000000     		ar = 197193.137698846m²