Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3055 / 5076
↖ ↑ ↗
← S 39.504041°
W 45.747070°		 ← 3 770.32 m → S 39.504041°
W 45.703125°		 →
↑
3 769.40 m
↓
↑
3 769.40 m
↓
S 39.537940°
W 45.747070°		 ← 3 768.48 m →
14 208 382 m²		 S 39.537940°
W 45.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37298583984375 y=0.61968994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37298583984375 × 213)
    floor (0.37298583984375 × 8192)
    floor (3055.5)     		tx = 3055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.61968994140625 × 213)
    floor (0.61968994140625 × 8192)
    floor (5076.5)     		ty = 5076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3055 / 5076 ti = "13/3055/5076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3055/5076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3055 ÷ 213
    3055 ÷ 8192     		x = 0.3729248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5076 ÷ 213
    5076 ÷ 8192     		y = 0.61962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3729248046875 × 2 - 1) × π
    -0.254150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79843700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.61962890625 × 2 - 1) × π
    -0.2392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.75165058604248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79843700} λ = -0.79843700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.75165058604248))-π/2
    2×atan(0.471587514214055)-π/2
    2×0.440660374328583-π/2
    0.881320748657166-1.57079632675     		φ = -0.68947558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79843700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.747070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68947558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.504041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3055 KachelY 5076 -0.79843700 -0.68947558 -45.747070 -39.504041
    Oben rechts KachelX + 1 3056 KachelY 5076 -0.79767001 -0.68947558 -45.703125 -39.504041
    Unten links KachelX 3055 KachelY + 1 5077 -0.79843700 -0.69006723 -45.747070 -39.537940
    Unten rechts KachelX + 1 3056 KachelY + 1 5077 -0.79767001 -0.69006723 -45.703125 -39.537940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68947558--0.69006723) × R
    0.000591650000000055 × 6371000     		dl = 3769.40215000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68947558--0.69006723) × R
    0.000591650000000055 × 6371000     		dr = 3769.40215000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79843700--0.79767001) × cos(-0.68947558) × R
    0.000766989999999912 × 0.771579721758282 × 6371000     		do = 3770.31913307148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79843700--0.79767001) × cos(-0.69006723) × R
    0.000766989999999912 × 0.771203218859411 × 6371000     		du = 3768.47935418248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68947558)-sin(-0.69006723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771579721758282-0.771203218859411)×R²
    abs(-0.79767001--0.79843700)×0.000376502898871478×R²
    0.000766989999999912×0.000376502898871478×6371000²
    0.000766989999999912×0.000376502898871478×40589641000000     		ar = 14208382.027605m²