Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30549 / 28983
↖ ↑ ↗
← S 79.794799°
E155.621338°		 ← 216.44 m → S 79.794799°
E155.632324°		 →
↑
216.42 m
↓
↑
216.42 m
↓
S 79.796745°
E155.621338°		 ← 216.40 m →
46 839 m²		 S 79.796745°
E155.632324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.932296752929688 y=0.884506225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.932296752929688 × 215)
    floor (0.932296752929688 × 32768)
    floor (30549.5)     		tx = 30549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.884506225585938 × 215)
    floor (0.884506225585938 × 32768)
    floor (28983.5)     		ty = 28983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30549 / 28983 ti = "15/30549/28983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30549/28983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30549 ÷ 215
    30549 ÷ 32768     		x = 0.932281494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28983 ÷ 215
    28983 ÷ 32768     		y = 0.884490966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.932281494140625 × 2 - 1) × π
    0.86456298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.71610473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.884490966796875 × 2 - 1) × π
    -0.76898193359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.41582799325235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.71610473} λ = 2.71610473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.41582799325235))-π/2
    2×atan(0.0892933739936019)-π/2
    2×0.0890571817574453-π/2
    0.178114363514891-1.57079632675     		φ = -1.39268196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.71610473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 155.621338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39268196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.794799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30549 KachelY 28983 2.71610473 -1.39268196 155.621338 -79.794799
    Oben rechts KachelX + 1 30550 KachelY 28983 2.71629648 -1.39268196 155.632324 -79.794799
    Unten links KachelX 30549 KachelY + 1 28984 2.71610473 -1.39271593 155.621338 -79.796745
    Unten rechts KachelX + 1 30550 KachelY + 1 28984 2.71629648 -1.39271593 155.632324 -79.796745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39268196--1.39271593) × R
    3.39700000000498e-05 × 6371000     		dl = 216.422870000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39268196--1.39271593) × R
    3.39700000000498e-05 × 6371000     		dr = 216.422870000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.71610473-2.71629648) × cos(-1.39268196) × R
    0.000191749999999935 × 0.17717408790964 × 6371000     		do = 216.442819873293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.71610473-2.71629648) × cos(-1.39271593) × R
    0.000191749999999935 × 0.177140655228867 × 6371000     		du = 216.401977198229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39268196)-sin(-1.39271593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17717408790964-0.177140655228867)×R²
    abs(2.71629648-2.71610473)×3.34326807726326e-05×R²
    0.000191749999999935×3.34326807726326e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.34326807726326e-05×40589641000000     		ar = 46838.7566281973m²