Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30549 / 20558
↖ ↑ ↗
← N 55.534848°
W 12.189331°		 ← 345.65 m → N 55.534848°
W 12.183838°		 →
↑
345.69 m
↓
↑
345.69 m
↓
N 55.531739°
W 12.189331°		 ← 345.68 m →
119 492 m²		 N 55.531739°
W 12.183838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466148376464844 y=0.313697814941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466148376464844 × 216)
    floor (0.466148376464844 × 65536)
    floor (30549.5)     		tx = 30549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313697814941406 × 216)
    floor (0.313697814941406 × 65536)
    floor (20558.5)     		ty = 20558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30549 / 20558 ti = "16/30549/20558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30549/20558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30549 ÷ 216
    30549 ÷ 65536     		x = 0.466140747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20558 ÷ 216
    20558 ÷ 65536     		y = 0.313690185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466140747070312 × 2 - 1) × π
    -0.067718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21274396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313690185546875 × 2 - 1) × π
    0.37261962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17061908872177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21274396} λ = -0.21274396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17061908872177))-π/2
    2×atan(3.223987955408)-π/2
    2×1.27003113899923-π/2
    2.54006227799846-1.57079632675     		φ = 0.96926595
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21274396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.189331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96926595 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.534848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30549 KachelY 20558 -0.21274396 0.96926595 -12.189331 55.534848
    Oben rechts KachelX + 1 30550 KachelY 20558 -0.21264809 0.96926595 -12.183838 55.534848
    Unten links KachelX 30549 KachelY + 1 20559 -0.21274396 0.96921169 -12.189331 55.531739
    Unten rechts KachelX + 1 30550 KachelY + 1 20559 -0.21264809 0.96921169 -12.183838 55.531739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96926595-0.96921169) × R
    5.42600000000837e-05 × 6371000     		dl = 345.690460000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96926595-0.96921169) × R
    5.42600000000837e-05 × 6371000     		dr = 345.690460000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21274396--0.21264809) × cos(0.96926595) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.565904886163855 × 6371000     		do = 345.647783452117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21274396--0.21264809) × cos(0.96921169) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.565949621101901 × 6371000     		du = 345.675107005168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96926595)-sin(0.96921169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565904886163855-0.565949621101901)×R²
    abs(-0.21264809--0.21274396)×4.47349380459094e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.47349380459094e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.47349380459094e-05×40589641000000     		ar = 119491.864034609m²