Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30549 / 17181
↖ ↑ ↗
← N 64.706147°
W 12.189331°		 ← 260.97 m → N 64.706147°
W 12.183838°		 →
↑
261.02 m
↓
↑
261.02 m
↓
N 64.703800°
W 12.189331°		 ← 260.99 m →
68 120 m²		 N 64.703800°
W 12.183838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466148376464844 y=0.262168884277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466148376464844 × 216)
    floor (0.466148376464844 × 65536)
    floor (30549.5)     		tx = 30549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262168884277344 × 216)
    floor (0.262168884277344 × 65536)
    floor (17181.5)     		ty = 17181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30549 / 17181 ti = "16/30549/17181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30549/17181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30549 ÷ 216
    30549 ÷ 65536     		x = 0.466140747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17181 ÷ 216
    17181 ÷ 65536     		y = 0.262161254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466140747070312 × 2 - 1) × π
    -0.067718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21274396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262161254882812 × 2 - 1) × π
    0.475677490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49438490875563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21274396} λ = -0.21274396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49438490875563))-π/2
    2×atan(4.45659449737208)-π/2
    2×1.3500658225903-π/2
    2.7001316451806-1.57079632675     		φ = 1.12933532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21274396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.189331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12933532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.706147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30549 KachelY 17181 -0.21274396 1.12933532 -12.189331 64.706147
    Oben rechts KachelX + 1 30550 KachelY 17181 -0.21264809 1.12933532 -12.183838 64.706147
    Unten links KachelX 30549 KachelY + 1 17182 -0.21274396 1.12929435 -12.189331 64.703800
    Unten rechts KachelX + 1 30550 KachelY + 1 17182 -0.21264809 1.12929435 -12.183838 64.703800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12933532-1.12929435) × R
    4.09700000001401e-05 × 6371000     		dl = 261.019870000892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12933532-1.12929435) × R
    4.09700000001401e-05 × 6371000     		dr = 261.019870000892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21274396--0.21264809) × cos(1.12933532) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427260858330887 × 6371000     		do = 260.965706868203m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21274396--0.21264809) × cos(1.12929435) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42729790011273 × 6371000     		du = 260.988331535532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12933532)-sin(1.12929435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427260858330887-0.42729790011273)×R²
    abs(-0.21264809--0.21274396)×3.70417818427726e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.70417818427726e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.70417818427726e-05×40589641000000     		ar = 68120.1876351575m²