Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30549 / 17032
↖ ↑ ↗
← N 65.053602°
W 12.189331°		 ← 257.61 m → N 65.053602°
W 12.183838°		 →
↑
257.64 m
↓
↑
257.64 m
↓
N 65.051285°
W 12.189331°		 ← 257.63 m →
66 375 m²		 N 65.051285°
W 12.183838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466148376464844 y=0.259895324707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466148376464844 × 216)
    floor (0.466148376464844 × 65536)
    floor (30549.5)     		tx = 30549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259895324707031 × 216)
    floor (0.259895324707031 × 65536)
    floor (17032.5)     		ty = 17032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30549 / 17032 ti = "16/30549/17032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30549/17032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30549 ÷ 216
    30549 ÷ 65536     		x = 0.466140747070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17032 ÷ 216
    17032 ÷ 65536     		y = 0.2598876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466140747070312 × 2 - 1) × π
    -0.067718505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21274396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2598876953125 × 2 - 1) × π
    0.480224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50867010484241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21274396} λ = -0.21274396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50867010484241))-π/2
    2×atan(4.52071471821308)-π/2
    2×1.35309793341331-π/2
    2.70619586682662-1.57079632675     		φ = 1.13539954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21274396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.189331°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13539954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.053602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30549 KachelY 17032 -0.21274396 1.13539954 -12.189331 65.053602
    Oben rechts KachelX + 1 30550 KachelY 17032 -0.21264809 1.13539954 -12.183838 65.053602
    Unten links KachelX 30549 KachelY + 1 17033 -0.21274396 1.13535910 -12.189331 65.051285
    Unten rechts KachelX + 1 30550 KachelY + 1 17033 -0.21264809 1.13535910 -12.183838 65.051285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13539954-1.13535910) × R
    4.04400000000305e-05 × 6371000     		dl = 257.643240000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13539954-1.13535910) × R
    4.04400000000305e-05 × 6371000     		dr = 257.643240000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21274396--0.21264809) × cos(1.13539954) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421770202241302 × 6371000     		do = 257.612081279408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21274396--0.21264809) × cos(1.13535910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42180686895606 × 6371000     		du = 257.634476860348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13539954)-sin(1.13535910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421770202241302-0.42180686895606)×R²
    abs(-0.21264809--0.21274396)×3.6666714757938e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6666714757938e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6666714757938e-05×40589641000000     		ar = 66374.8963281247m²