Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30548 / 17031
↖ ↑ ↗
← N 65.055919°
W 12.194824°		 ← 257.59 m → N 65.055919°
W 12.189331°		 →
↑
257.64 m
↓
↑
257.64 m
↓
N 65.053602°
W 12.194824°		 ← 257.61 m →
66 369 m²		 N 65.053602°
W 12.189331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30548 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466133117675781 y=0.259880065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466133117675781 × 216)
    floor (0.466133117675781 × 65536)
    floor (30548.5)     		tx = 30548
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259880065917969 × 216)
    floor (0.259880065917969 × 65536)
    floor (17031.5)     		ty = 17031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30548 / 17031 ti = "16/30548/17031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30548/17031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30548 ÷ 216
    30548 ÷ 65536     		x = 0.46612548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17031 ÷ 216
    17031 ÷ 65536     		y = 0.259872436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46612548828125 × 2 - 1) × π
    -0.0677490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21283983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259872436523438 × 2 - 1) × π
    0.480255126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50876597864165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21283983} λ = -0.21283983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50876597864165))-π/2
    2×atan(4.52114815708578)-π/2
    2×1.3531181508904-π/2
    2.70623630178079-1.57079632675     		φ = 1.13543998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21283983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.194824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13543998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.055919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30548 KachelY 17031 -0.21283983 1.13543998 -12.194824 65.055919
    Oben rechts KachelX + 1 30549 KachelY 17031 -0.21274396 1.13543998 -12.189331 65.055919
    Unten links KachelX 30548 KachelY + 1 17032 -0.21283983 1.13539954 -12.194824 65.053602
    Unten rechts KachelX + 1 30549 KachelY + 1 17032 -0.21274396 1.13539954 -12.189331 65.053602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13543998-1.13539954) × R
    4.04399999998084e-05 × 6371000     		dl = 257.643239998779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13543998-1.13539954) × R
    4.04399999998084e-05 × 6371000     		dr = 257.643239998779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21283983--0.21274396) × cos(1.13543998) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421733534836784 × 6371000     		do = 257.589685277171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21283983--0.21274396) × cos(1.13539954) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421770202241302 × 6371000     		du = 257.612081279408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13543998)-sin(1.13539954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421733534836784-0.421770202241302)×R²
    abs(-0.21274396--0.21283983)×3.66674045180759e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66674045180759e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66674045180759e-05×40589641000000     		ar = 66369.1262034697m²