Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30547 / 20556
↖ ↑ ↗
← N 55.541065°
W 12.200317°		 ← 345.63 m → N 55.541065°
W 12.194824°		 →
↑
345.63 m
↓
↑
345.63 m
↓
N 55.537956°
W 12.200317°		 ← 345.66 m →
119 463 m²		 N 55.537956°
W 12.194824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30547 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466117858886719 y=0.313667297363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466117858886719 × 216)
    floor (0.466117858886719 × 65536)
    floor (30547.5)     		tx = 30547
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313667297363281 × 216)
    floor (0.313667297363281 × 65536)
    floor (20556.5)     		ty = 20556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30547 / 20556 ti = "16/30547/20556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30547/20556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30547 ÷ 216
    30547 ÷ 65536     		x = 0.466110229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20556 ÷ 216
    20556 ÷ 65536     		y = 0.31365966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466110229492188 × 2 - 1) × π
    -0.067779541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.21293571
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31365966796875 × 2 - 1) × π
    0.3726806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.17081083632025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21293571} λ = -0.21293571}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17081083632025))-π/2
    2×atan(3.22460620662818)-π/2
    2×1.27008539016207-π/2
    2.54017078032414-1.57079632675     		φ = 0.96937445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21293571} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.200317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96937445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.541065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30547 KachelY 20556 -0.21293571 0.96937445 -12.200317 55.541065
    Oben rechts KachelX + 1 30548 KachelY 20556 -0.21283983 0.96937445 -12.194824 55.541065
    Unten links KachelX 30547 KachelY + 1 20557 -0.21293571 0.96932020 -12.200317 55.537956
    Unten rechts KachelX + 1 30548 KachelY + 1 20557 -0.21283983 0.96932020 -12.194824 55.537956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96937445-0.96932020) × R
    5.42500000000334e-05 × 6371000     		dl = 345.626750000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96937445-0.96932020) × R
    5.42500000000334e-05 × 6371000     		dr = 345.626750000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21293571--0.21283983) × cos(0.96937445) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.565815427780212 × 6371000     		do = 345.629191466349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21293571--0.21283983) × cos(0.96932020) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.565860157804714 × 6371000     		du = 345.656514868017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96937445)-sin(0.96932020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.565815427780212-0.565860157804714)×R²
    abs(-0.21283983--0.21293571)×4.47300245028925e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.47300245028925e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.47300245028925e-05×40589641000000     		ar = 119463.416030371m²