Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30546 / 41549
↖ ↑ ↗
← S 43.377105°
W 12.205810°		 ← 443.95 m → S 43.377105°
W 12.200317°		 →
↑
443.99 m
↓
↑
443.99 m
↓
S 43.381098°
W 12.205810°		 ← 443.92 m →
197 105 m²		 S 43.381098°
W 12.200317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466102600097656 y=0.633995056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466102600097656 × 216)
    floor (0.466102600097656 × 65536)
    floor (30546.5)     		tx = 30546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.633995056152344 × 216)
    floor (0.633995056152344 × 65536)
    floor (41549.5)     		ty = 41549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30546 / 41549 ti = "16/30546/41549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30546/41549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30546 ÷ 216
    30546 ÷ 65536     		x = 0.466094970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41549 ÷ 216
    41549 ÷ 65536     		y = 0.633987426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466094970703125 × 2 - 1) × π
    -0.06781005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21303158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.633987426757812 × 2 - 1) × π
    -0.267974853515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.841867831127426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21303158} λ = -0.21303158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.841867831127426))-π/2
    2×atan(0.43090491368108)-π/2
    2×0.406861512141186-π/2
    0.813723024282373-1.57079632675     		φ = -0.75707330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21303158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.205810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75707330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.377105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30546 KachelY 41549 -0.21303158 -0.75707330 -12.205810 -43.377105
    Oben rechts KachelX + 1 30547 KachelY 41549 -0.21293571 -0.75707330 -12.200317 -43.377105
    Unten links KachelX 30546 KachelY + 1 41550 -0.21303158 -0.75714299 -12.205810 -43.381098
    Unten rechts KachelX + 1 30547 KachelY + 1 41550 -0.21293571 -0.75714299 -12.200317 -43.381098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75707330--0.75714299) × R
    6.96900000000111e-05 × 6371000     		dl = 443.994990000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75707330--0.75714299) × R
    6.96900000000111e-05 × 6371000     		dr = 443.994990000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21303158--0.21293571) × cos(-0.75707330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.726849169940273 × 6371000     		do = 443.950583634161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21303158--0.21293571) × cos(-0.75714299) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.72680130528397 × 6371000     		du = 443.921348487476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75707330)-sin(-0.75714299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.726849169940273-0.72680130528397)×R²
    abs(-0.21293571--0.21303158)×4.78646563027985e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78646563027985e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78646563027985e-05×40589641000000     		ar = 197105.344891595m²