Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30546 / 20562
↖ ↑ ↗
← N 55.522412°
W 12.205810°		 ← 345.76 m → N 55.522412°
W 12.200317°		 →
↑
345.82 m
↓
↑
345.82 m
↓
N 55.519302°
W 12.205810°		 ← 345.78 m →
119 574 m²		 N 55.519302°
W 12.200317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30546 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466102600097656 y=0.313758850097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466102600097656 × 216)
    floor (0.466102600097656 × 65536)
    floor (30546.5)     		tx = 30546
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.313758850097656 × 216)
    floor (0.313758850097656 × 65536)
    floor (20562.5)     		ty = 20562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30546 / 20562 ti = "16/30546/20562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30546/20562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30546 ÷ 216
    30546 ÷ 65536     		x = 0.466094970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20562 ÷ 216
    20562 ÷ 65536     		y = 0.313751220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466094970703125 × 2 - 1) × π
    -0.06781005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21303158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.313751220703125 × 2 - 1) × π
    0.37249755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.17023559352481
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21303158} λ = -0.21303158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.17023559352481))-π/2
    2×atan(3.22275180855539)-π/2
    2×1.26992261094106-π/2
    2.53984522188212-1.57079632675     		φ = 0.96904890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21303158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.205810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.96904890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.522412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30546 KachelY 20562 -0.21303158 0.96904890 -12.205810 55.522412
    Oben rechts KachelX + 1 30547 KachelY 20562 -0.21293571 0.96904890 -12.200317 55.522412
    Unten links KachelX 30546 KachelY + 1 20563 -0.21303158 0.96899462 -12.205810 55.519302
    Unten rechts KachelX + 1 30547 KachelY + 1 20563 -0.21293571 0.96899462 -12.200317 55.519302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.96904890-0.96899462) × R
    5.42799999999621e-05 × 6371000     		dl = 345.817879999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.96904890-0.96899462) × R
    5.42799999999621e-05 × 6371000     		dr = 345.817879999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21303158--0.21293571) × cos(0.96904890) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.566083824161554 × 6371000     		do = 345.7570765927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21303158--0.21293571) × cos(0.96899462) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.566128568919885 × 6371000     		du = 345.78440614386m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.96904890)-sin(0.96899462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.566083824161554-0.566128568919885)×R²
    abs(-0.21293571--0.21303158)×4.4744758330828e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4744758330828e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4744758330828e-05×40589641000000     		ar = 119573.704775005m²