Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30541 / 20381
↖ ↑ ↗
← N 56.081232°
W 12.233276°		 ← 340.83 m → N 56.081232°
W 12.227783°		 →
↑
340.85 m
↓
↑
340.85 m
↓
N 56.078167°
W 12.233276°		 ← 340.86 m →
116 176 m²		 N 56.078167°
W 12.227783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466026306152344 y=0.310997009277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466026306152344 × 216)
    floor (0.466026306152344 × 65536)
    floor (30541.5)     		tx = 30541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310997009277344 × 216)
    floor (0.310997009277344 × 65536)
    floor (20381.5)     		ty = 20381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30541 / 20381 ti = "16/30541/20381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30541/20381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30541 ÷ 216
    30541 ÷ 65536     		x = 0.466018676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20381 ÷ 216
    20381 ÷ 65536     		y = 0.310989379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466018676757812 × 2 - 1) × π
    -0.067962646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21351095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310989379882812 × 2 - 1) × π
    0.378021240234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.18758875118727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21351095} λ = -0.21351095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18758875118727))-π/2
    2×atan(3.27916478479235)-π/2
    2×1.2747992404124-π/2
    2.54959848082479-1.57079632675     		φ = 0.97880215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21351095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.233276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97880215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.081232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30541 KachelY 20381 -0.21351095 0.97880215 -12.233276 56.081232
    Oben rechts KachelX + 1 30542 KachelY 20381 -0.21341508 0.97880215 -12.227783 56.081232
    Unten links KachelX 30541 KachelY + 1 20382 -0.21351095 0.97874865 -12.233276 56.078167
    Unten rechts KachelX + 1 30542 KachelY + 1 20382 -0.21341508 0.97874865 -12.227783 56.078167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97880215-0.97874865) × R
    5.35000000000396e-05 × 6371000     		dl = 340.848500000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97880215-0.97874865) × R
    5.35000000000396e-05 × 6371000     		dr = 340.848500000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21351095--0.21341508) × cos(0.97880215) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558016958183206 × 6371000     		do = 340.829933510896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21351095--0.21341508) × cos(0.97874865) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558061353265271 × 6371000     		du = 340.857049484069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97880215)-sin(0.97874865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558016958183206-0.558061353265271)×R²
    abs(-0.21341508--0.21351095)×4.43950820644412e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43950820644412e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43950820644412e-05×40589641000000     		ar = 116175.992839663m²