Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30541 / 20218
↖ ↑ ↗
← N 56.577641°
W 12.233276°		 ← 336.43 m → N 56.577641°
W 12.227783°		 →
↑
336.45 m
↓
↑
336.45 m
↓
N 56.574615°
W 12.233276°		 ← 336.45 m →
113 196 m²		 N 56.574615°
W 12.227783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30541 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.466026306152344 y=0.308509826660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.466026306152344 × 216)
    floor (0.466026306152344 × 65536)
    floor (30541.5)     		tx = 30541
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.308509826660156 × 216)
    floor (0.308509826660156 × 65536)
    floor (20218.5)     		ty = 20218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30541 / 20218 ti = "16/30541/20218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30541/20218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30541 ÷ 216
    30541 ÷ 65536     		x = 0.466018676757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20218 ÷ 216
    20218 ÷ 65536     		y = 0.308502197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.466018676757812 × 2 - 1) × π
    -0.067962646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.21351095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308502197265625 × 2 - 1) × π
    0.38299560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20321618046341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.21351095} λ = -0.21351095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20321618046341))-π/2
    2×atan(3.33081220768377)-π/2
    2×1.27913122143763-π/2
    2.55826244287525-1.57079632675     		φ = 0.98746612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.21351095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.233276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98746612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.577641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30541 KachelY 20218 -0.21351095 0.98746612 -12.233276 56.577641
    Oben rechts KachelX + 1 30542 KachelY 20218 -0.21341508 0.98746612 -12.227783 56.577641
    Unten links KachelX 30541 KachelY + 1 20219 -0.21351095 0.98741331 -12.233276 56.574615
    Unten rechts KachelX + 1 30542 KachelY + 1 20219 -0.21341508 0.98741331 -12.227783 56.574615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98746612-0.98741331) × R
    5.28100000000142e-05 × 6371000     		dl = 336.452510000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98746612-0.98741331) × R
    5.28100000000142e-05 × 6371000     		dr = 336.452510000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.21351095--0.21341508) × cos(0.98746612) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550806486377563 × 6371000     		do = 336.42586551608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.21351095--0.21341508) × cos(0.98741331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550850562577249 × 6371000     		du = 336.452786719796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98746612)-sin(0.98741331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550806486377563-0.550850562577249)×R²
    abs(-0.21341508--0.21351095)×4.40761996854944e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40761996854944e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40761996854944e-05×40589641000000     		ar = 113195.855761288m²